o-mathe | Erkundung - Geometrische Deutung von Abbildungen

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Im letzten Kapitel hast du geometrische Standardabbildungen algebraisch mit Hilfe von Vektorgleichungen beschrieben. Die Übersicht zeigt noch einmal einige dieser Abbildungen.

Abbildung	Beschreibung mit Gleichungen	Beschreibung mit Vektoren
	Spiegelung an der $y$ -Achse: $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & x_{2} \end{array}$	Spiegelung an der $y$ -Achse: $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $90 °$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & x_{1} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Streckung mit dem Streckzentrum $(0 \| 0)$ und dem Streckfaktor $k$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & k \cdot x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & k \cdot x_{2} \end{array}$	Streckung mit dem Streckzentrum $(0 \| 0)$ und dem Streckfaktor $k$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Die Vektorgleichungen zu den Abbildungen in der Übersicht sind alle ähnliche aufgebaut. Es handelt sich um lineare Abbildungen.

Lineare Abbildung

Eine lineare Abbildung (in der Ebene) ist eine Abbildung, die sich mit einer Vektorgleichung mit folgender Struktur beschreiben lässt:

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$

Den Bildpunkt $X^{'} (x_{1}^{'} | x_{2}^{'})$ zu einem Ausgangspunkt $X (x_{1} | x_{2})$ erhält man mit Hilfe linearer Gleichungen:

$\begin{array}{lcl} x_{1}^{'} & = & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} \end{array}$

Zielsetzung

Wir kehren den Spieß jetzt um: Wir betrachten lineare Abbildungen mit vorgegebenen Abbildungsmatrizen $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ und suchen dann nach passenden geometrischen Deutungen. Hierzu variieren wir nach und nach die Komponenten der Abbildungsmatrix $A$ .

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