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Übungen - Umkehrung von Abbildungen

Aufgabe 1

Betrachte die folgende lineare Abbildung $α$ :

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0.5 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Stelle mit den Schiebereglern die Abbildungsmatrix ein. Drücke die Schaltfläche [Abbilden], die eingestellte Abbildung wird dann dynamisch durchgeführt.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_1.ggb

Begründe: Die lineare Abbildung $α$ ist nicht umkehrbar. Nutze zur Begründung Zuordnungsbeispiele.

Aufgabe 2

Gib jeweils die Umkehrabbildung an. Beschreibe sie algebraisch und informell mit Worten.

Abbildung	Umkehrabbildung
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden	$α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ ...
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ Drehung um den Ursprung um $180 °$	$α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ ...
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ Streckung in $y$ -Richtung mit dem Faktor $2$	$α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ ...
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ Scherung um $1$ Einheit in $x$ -Richtung	$α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ ...
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})$ Spiegelung an der $x$ -Achse mit zusätzlicher Verschiebung in $x$ -Richtung	$α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$ ...

Aufgabe 3

Betrachte die folgende lineare Abbildung:

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

(a) Überzeuge dich zunächst mit Hilfe des Applets, dass $α$ umkehrbar ist.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_1.ggb

(b) Ergänze die folgenden Zuordnungen. Überprüfe im Applet.

$α : (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

$α : (\begin{matrix} 0 \\ 8 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

(c) Bestimme die Umkehrabbildung $α^{- 1}$ mit Hilfe der Zuordnungen aus (b). Gehe dabei von folgendem Ansatz aus.

$α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Bedingungen	Vektorgleichungen	Koordinatengleichungen	Lösungen
$α^{- 1} : (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lcl} b & = & \dots \\ d & = & \dots \end{array}$
$α^{- 1} : (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 0 \\ 8 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [3] & \dots \\ [4] & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lcl} a & = & \dots \\ c & = & \dots \end{array}$

Erbebnis: $α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = \dots$

(d) Bestimme analog die Umkehrabbildungen zu folgenden linearen Abbildungen:

$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 0.5 \\ 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

$δ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Aufgabe 4

Betrachte noch einmal die folgende lineare Abbildung mit ihrer zu bestimmenden Umkehrabbildung:

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

$α^{- 1} : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

(a) Welche Schwierigkeit tritt hier bei der Bestimmung der Umkehrabbildung auf?

Bedingungen	Vektorgleichungen	Koordinatengleichungen	Lösungen
$α^{- 1} : (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lcl} b & = & \dots \\ d & = & \dots \end{array}$
$α^{- 1} : (\begin{matrix} 24 \\ - 8 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [3] & \dots \\ [4] & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lcl} a & = & \dots \\ c & = & \dots \end{array}$

(b) Welche Schwierigkeit tritt hier bei der Bestimmung der Umkehrabbildung auf?

Bedingungen	Vektorgleichungen	Koordinatengleichungen	Lösungen
$α^{- 1} : (\begin{matrix} 16 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lcl} b & = & \dots \\ d & = & \dots \end{array}$
$α^{- 1} : (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [3] & \dots \\ [4] & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lcl} a & = & \dots \\ c & = & \dots \end{array}$

(c) Warum ist es günstig, bei der Bestimmung der Umkehrabbildung $α^{- 1}$ von folgenden Zuordnungen (oder entsprechenden Vielfachen) auszugehen:

$α : (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

$α : (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Aufgabe 5

(a) Überprüfe mit Hilfe der Determinante, ob die folgenden Abbildungen umkehrbar sind.

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

$δ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix})$

(b) Bestimme (falls möglich) die Umkehrabbildungen zu den Abbildungen in (a). Benutze eine Formel für die inverse Matrix einer vorgegebenen $2 \times 2$ -Matrix.

Aufgabe 6

In einem Grafikprogramm wurden nacheinander die Abbildungen in der Übersicht durchgeführt. Das Ergebnis der Abbildungen ist unten im Applet zu sehen. Da es der Bernutzerin / dem Benutzer nicht gefällt, soll der gesamte Prozess rückgängig gemacht werden. Nutze hierfür die passenden Umkehrabbildungen.

Schritte	Abbildungen
Schritt 1	$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
Schritt 2	$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix})$
Schritt 3	$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
Schritt 4	$δ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
Schritt 5	$ϵ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 8 \end{matrix})$

Ergebnis der Abbildungen:

Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_3.ggb