o-mathe | Strukturierung - Verkettung von Abbildungen

Einstieg

Abbildungen verketten

Ausgangspunkt ist hier das folgende im letzten Kapitel hergeleitete Ergebnis: Eine Drehung um $90 °$ um das Drehzentrum $(- 4 | 5)$ kann man durchführen, indem man $3$ Teilabbildungen hintereinander ausgeführt bzw. verkettet. Zur Wiederholung sind die Ergebnisse hier noch einmal zusammengestellt.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2	Teilabbildung 3

Verschiebung um $4$ nach rechts und $5$ nach unten	Drehung um $90 °$ um den Ursprung	Verschiebung um $4$ nach links und $5$ nach oben
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})$	$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix})$

In der Übersicht sind die Teilabbildungen zur Durchführung der Drehung mit ihren algebraischen Beschreibungen aufgeführt. Beachte, dass wir hier die Bezeichnung $α$ , $β$ und $γ$ als Abkürzungen für die Teilabbildungen verwenden.

Die Verkettung der Teilabbildungen lässt sich jetzt algebraisch so ausführen:

Verkettung der Teilabbildungen – am Beispiel	Verkettung der Teilabbildungen – allgemein
$\begin{matrix} (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}$

Verkettung der Teilabbildungen – am Beispiel

Verkettung der Teilabbildungen – allgemein

\begin{matrix} (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}

Aufgabe 1

Erläutere die Herleitungen in der Übersicht.

Eine Schreibweise für die Verkettung von Abbildungen einführen

Die Verkettung von $α$ , $β$ und $γ$ bildet den Ausgangsvektor $(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix})$ auf den Bildvektor $(\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$ ab:

$(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \overset{α}{⟶} \overset{β}{⟶} \overset{γ}{⟶} (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$

Wenn man die übliche Klammerschreibweise für Abbildungen verwendet, dann kann man das auch so schreiben:

$γ (β (α ((\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix})))) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$

Es wird also $γ$ nach $β$ nach $α$ ausgeführt. Die Gesamtabbildung $γ$ nach $β$ nach $α$ beschreibt man in der Form $γ \circ β \circ α$ . Es gilt also:

$(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \overset{γ \circ β \circ α}{⟶} (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$

Aus der Übersicht oben entnimmt man, dass man die Abbildung $γ \circ β \circ α$ algebraisch so beschreiben kann:

$γ \circ β \circ α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix})$

Wir legen die im Beispiel bereits verwendeten Begriffe und Symbole jetzt präzise fest.

Verkettung von Abbildungen

Die Verkettung von zwei geometrischen Abbildungen $α$ und $β$ beschreibt das Hintereinanderausführen der beiden Abbildungen. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

erst $α$ dann $β$ bzw. $β$ nach $α$ . Diese Abbildung beschreibt man in der Form $β \circ α$ .

erst $β$ dann $α$ bzw. $α$ nach $β$ . Diese Abbildung beschreibt man in der Form $α \circ β$ .

Zielsetzung

In den folgenden Abschnitten geht es darum, die Verkettung geometrischer Abbildungen systematischer zu untersuchen. Wir betrachten die Verkettung beliebiger linearer Anbbildungen sowie die Verkettung beliebiger affiner Abbildungen.

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