Vertiefung

Eine Bedingung für Fixgeraden entwickeln

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet voreingestellte affine Abbildung $\alpha$. Es handelt sich bei dieser Abbildung um eine Verschiebung.

Zum Herunterladen: fixgerade4a.ggb

(a) Verdeutliche anhand des Applets: Die Bedingung $\overrightarrow{u}{}^{\prime }=\lambda \cdot \overrightarrow{u}$ mit $\lambda \ne 0$ reicht nicht aus, um zu schließen, dass die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist.

(b) Bewege den Punkt $Q$ an eine Position, so dass die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist.

(c) Warum muss die zusätzliche Bedingung $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{u}$ (mit einer reellen Zahl $k$) erfüllt sein, damit die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist.

(d) Bestimme experimentell weitere Fixgeraden von $\alpha$. Das ist bei der vorgegebenen affinen Abbildung $\alpha$ recht einfach. Man kann $P$ zunächst an eine beliebige Position setzen. Dann muss man $Q$ an eine geeignete Position platzieren.

Aufgabe 2

Betrachte die im Applet voreingestellte affine Abbildung $\alpha$ mit der Abbildungsmatrix $A=\left(\begin{array}{cc}0.5& -1\\ -2& 1.5\end{array}\right)$ und dem Verschiebevektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$.

Zum Herunterladen: fixgerade4b.ggb

Aus den bisherigen Überlegungen geht hervor, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade ist.

• Die Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ von $g$ und $\overrightarrow{u}{}^{\prime }$ von $\alpha (g)$ müssen Vielfache voneinander sein, damit sie dieselbe Richtung beschreiben. Das ist genau dann der Fall, wenn $\overrightarrow{u}$ ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix $A$ mit einem Eigenwert $\lambda \ne 0$ ist.
• $P^{\prime }$ muss auf der Geraden durch $P$ und $Q$ liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ ein Vielfaches von $\overrightarrow{u}$ ist.

(a) Der Punkt $P$ liegt bereits an einer günstigen Position. Verschiebe $Q$ an eine Position, so dass $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{u}{}^{\prime }$ sowie $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ und $\overrightarrow{u}$ Vielfache voneinander sind. Dann hast du eine erste Fixgerade gefunden. Beschreibe diese Fixgerade (in Worten oder mit einer Geradengleichung).

(b) Gibt es weitere Fixgeraden? Bringe hierzu $P$ zunächst an eine andere Position. Versuche anschließend, $Q$ an eine Position zu bringen, so dass die beiden oben formulierten Bedingungen erfüllt sind. Du wirst vermutlich feststellen, dass es gar nicht so einfach ist, eine passende Position für den Punkt $P$ zu finden.

(c) Verwende jetzt die Bedingung, dass $\overrightarrow{u}$ ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix $A$ sein muss. Mache dir klar, dass man $P$ an eine Position bringen muss, so dass $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ ein Vielfaches eines Eigenvektors von $A$ ist. Die Eigenvektoren von $A$ kannst du hier einblenden.

Eigenvektoren von $A$

Eigenwerte von $A=\left(\begin{array}{cc}0.5& -1\\ -2& 1.5\end{array}\right)$: ${\lambda }_1=-0.5;{\lambda }_2=2.5$

Eigenvektoren von $A=\left(\begin{array}{cc}0.5& -1\\ -2& 1.5\end{array}\right)$:
$\begin{array}{lllll}{\lambda }_1=-0.5& :& {\overrightarrow{w}}_1=r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)& ;& r\ne 0\\ {\lambda }_2=2.5& :& {\overrightarrow{w}}_2=r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)& ;& r\ne 0\end{array}$

Für welchen Eigenvektor von $A$ ist das voreingestelle $P(-2|-2)$ eine günstige Position?

Suche eine günstige Position für $A$ für den anderen Eigenvektor. Ermittle dann eine zweite Fixgerade. Beschreibe diese Fixgerade (in Worten oder mit einer Geradengleichung).

Hilfe

Teste die Position $P(1|0)$. Warum ist die günstig?

Aufgabe 3

Begründe mit den vorangehenden Überlegungen den folgenden Satz.