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Überprüfung - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen

Aufgabe 1

Das Applet zeigt, wie man eine Punktspiegelung geometrisch durchführt. Den Punkt $X$ kann man im Applet hin und her bewegen. Der Punkt $X^{'}$ ergibt sich durch eine Spiegelung von $X$ am Spiegelzentrum $Z$ .

Zum Herunterladen: punktspiegelung1.ggb

Wenn man das (passend gewählte) Koordinatensystem einblendet, dann kann man ${\vec{x}}^{'}$ bzw. $X^{'}$ ganz einfach aus $\vec{x}$ bzw. $X$ berechnen. Ergänze hierzu die algebraischen Beschreibungen.

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Koordinatengleichungen

$x_{1}^{'} = \dots$
$x_{2}^{'} = \dots$

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung mit Abbildungsmatrix

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Zur Kontrolle

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Koordinatengleichungen

$x_{1}^{'} = - x_{1}$
$x_{2}^{'} = - x_{2}$

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - x_{1} \\ - x_{2} \end{matrix})$

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung mit Abbildungsmatrix

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Aufgabe 2

Im folgenden Applet wird ebenfalls eine Punktspiegelung geometrisch durchgeführt. Das Spiegelzentrum $Z$ befindet sich aber nicht mehr im Koordinatenursprung.

Zum Herunterladen: punktspiegelung2.ggb

Diese Punktspiegelung lässt sich z.B. mit folgender Vektorgleichung algebraisch beschreiben:

Punktspiegelung am Spiegelzentrum $Z (1 | 1)$ – Vektorgleichung

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - x_{1} + 2 \\ - x_{2} + 2 \end{matrix})$

Bestimme die Bildpunkte bei dieser Punktspiegelung zu folgenden Ausgangspunkten:

$A (3 | 4) \to \dots$
$B (- 2 | 0) \to \dots$
$C (0 | 0) \to \dots$
$D (1 | 1) \to \dots$

Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.

Überprüfung - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen

Aufgabe 1

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Koordinatengleichungen

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung mit Abbildungsmatrix

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Koordinatengleichungen

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung

Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung mit Abbildungsmatrix

Aufgabe 2

Punktspiegelung am Spiegelzentrum Z(1|1) – Vektorgleichung

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Punktspiegelung am Spiegelzentrum $Z (1 | 1)$ – Vektorgleichung