Übungen - Lineare und affine Abbildungen

Aufgabe 1

In den folgenden Teilaufgaben geht es darum, Abbildungen rechnerisch auszuführen und dann geometrisch zu deuten. Berechne zuerst die Bildpunkte. Beschreibe anschließend die Abbildungen geometrisch mit eigenen Worten.

(a)

Geg.: lineare Abbildung

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Ges.: Zuordnungen und geometrische Deutung

$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\end{array}$

Geometrische Beschreibung: ...

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(b)

Geg.: lineare Abbildung

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Ges.: Zuordnungen und geometrische Deutung

$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\end{array}$

Geometrische Beschreibung: ...

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(c)

Geg.: affine Abbildung

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 8\end{array}\right)$

Ges.: Zuordnungen und geometrische Deutung

$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)\end{array}$

Geometrische Beschreibung: ...

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Aufgabe 2

In den folgenden Teilaufgaben geht es darum, die Abbildungsbeschreibung zu rekonstruieren. Gegeben sind jeweils Punkte mit ihren Bildpunkten. Überprüfe mit dem Applet.

(a)

Geg.: Zuordnungen

$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}-16\\ -16\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}16\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Ges.: zugehörige lineare Abbildung

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

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(b)

Geg.: Zuordnungen

$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}-16\\ 8\end{array}\right)\end{array}$

Ges.: zugehörige lineare Abbildung

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

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(c)

Probiere auch hier, lineare Abbildungen zu den vorgegebenen Zuordnungen zu bestimmen. Warum klappt das hier nicht?

Beispiel 1:

$\begin{array}{lcl}(8|0)& \to & (-16|8)\\ (8|8)& \to & (-16|16)\\ (0|8)& \to & (16|8)\end{array}$

Beispiel 2:

$\begin{array}{lcl}(-8|-8)& \to & (24|0)\\ (8|8)& \to & (-24|0)\end{array}$

Beispiel 3:

$\begin{array}{lcl}(0|0)& \to & (0|-4)\\ (8|0)& \to & (16|-12)\end{array}$

Aufgabe 3

In dieser Aufgabe geht es um die Deutung der Parameter einer affinen Abbildung. Gegeben ist die affine Abbildung:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$

Fertige mit Hilfe der Zahlenangaben in der Abbildungsgleichung eine Skizze an, in der verdeutlicht wird, die die Abbildung das Einheitsquadrats mit den Eckpunkten $O(0|0)$, $E_1(1|0)$ und $E_2(0|1)$ abbildet.

Überprüfe im Applet.

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Aufgabe 4

Wahr oder falsch? Begründe jeweils.

(a) Jede lineare Abbildung ist eine affine Abbildung.

(b) Jede Verschiebung ist eine lineare Abbildung.

(c) Jede affine Abbildung ist eine lineare Abbildung.

(d) Jede Verschiebung ist eine affine Abbildung.