Zusammenfassung - Abbildung paralleler Geraden

Parallelentreue

Bei einer affinen Abbildung werden parallele Geraden (bzw. Seiten) immer auf parallele Geraden (bzw. Seiten) abgebildet, sofern bei der Abbildung Geraden entstehen. Das sieht man im folgenden Applet, wenn man mehrere affine Abbildungen hintereinander ausführt.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_2.ggb

Parallele Geraden

Zur Begründung dieses Zusammenhangs muss erst geklärt werden, wie sich die Parallelität von zwei Geraden in den Geradengleichungen widerspiegelt.

Zum Herunterladen: parallelegeraden.ggb

Experimente mit dem Applet zeigen:

Parallelentreue bei affinen Abbildungen

Mit diesem Ergebnis lässt sich die Parallelentreue von affinen Abbildung direkt herleiten. In der Übersicht sind hierzu Daten zur Abbildung von zwei Geraden $g$ und $h$ ganz allgemein vorgegeben. Wir setzen voraus, dass die Abbildungsmatrix $A$ der affinen Abbildung umkehrbar ist.

Es gilt:

Wenn $\overrightarrow{w}=s\cdot \overrightarrow{u}$ mit einer rellen Zahl $s$ gilt (d.h.: $\overrightarrow{w}$ ist ein Vielfaches von $\overrightarrow{u}$), dann gilt $A\cdot \overrightarrow{w}=A\cdot s\cdot \overrightarrow{u}=s\cdot A\cdot \overrightarrow{u}$ (d.h.: $A\cdot \overrightarrow{w}$ ist dann auch Vielfaches von $A\cdot \overrightarrow{u}$).

Man erhält hieraus direkt den folgenden Satz.