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Erarbeitung

Zur Orientierung

Ziel ist es hier, die Verkettung linearer Abbildungen genauer zu untersuchen.

Ein Beispiel betrachten

Beispiel

Betrachte die beiden folgenden Abbildungen:

$α$ : Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden

$β$ : Drehung um $90 °$ um den Ursprung

Durch eine Verkettung der Abbildungen erhält man:

$β \circ α$ : Drehung um $90 °$ um den Ursprung nach Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden

$α \circ β$ : Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden nach Drehung um $90 °$ um den Ursprung

Aufgabe 1

Führe die Verkettungen selbst durch (per Hand mit einer selbst gewählten Figur oder mit Hilfe des Applets). Stelle Vermutungen darüber auf, was die Abbildungen $β \circ α$ und die $α \circ β$ leisten.

Applet einblenden

Zum Herunterladen: verkettung_abbildungen.ggb

Aufgabe 2

In der folgenden Übersicht wird die Abbildung $β \circ α$ : Drehung um $90 °$ um den Ursprung nach Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden verdeutlicht.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2

Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden	Drehung um $90 °$ um den Ursprung
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

(a) Zeige, dass die Abbildung $β \circ α$ so beschrieben werden kann:

$β \circ α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Hilfe

Es gilt:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{α}{⟶} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{β}{⟶} (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})]$

Hilfe

Durch Umformen erhält man:

$(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})] = \dots$

(b) Begründe: Die Abbildung $β \circ α$ entspricht einer Spiegelung an der $y$ -Achse.

Aufgabe 3

Betrachte die Verkettung $α \circ β$ : Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden nach Drehung um $90 °$ um den Ursprung. Zeige analog, dass diese Abbildung einer Spiegelung an der $x$ -Achse entspricht.

Ergebnisse verallgemeinern

Aufgabe 4

Betrachte die Verkettung $β \circ α$ von zwei linearen Abbildungen $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x}$ und $β : {\vec{x}}^{'} = B \cdot \vec{x}$ .

(a) Ergänze die algebraische Beschreibung von $β \circ α$ :

$β \circ α : {\vec{x}}^{'} = \dots$

(b) Ist die Verkettung $β \circ α$ ebenfalls eine lineare Abbildung? Begründe.

Aufgabe 5

Schaue dir nochmal das Beispiel oben an. Darf man die Reihenfolge bei der Verkettung von linearen Abbildungen vertauschen bzw. gilt $β \circ α = α \circ β$ bei beliebigen linearen Abbildungen?

Aufgabe 6

Sichere deine Ergebnisse.

Verkettung linearer Abbildungen

Für die Verkettung $β \circ α$ von zwei linearen Abbildungen $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x}$ und $β : {\vec{x}}^{'} = B \cdot \vec{x}$ gilt:

$β \circ α : {\vec{x}}^{'} = \dots$

Die Verkettung $β \circ α$ ist ebenfalls eine lineare Abbildung. Die Abbildungsmatrix erhält man ...

Beachte: Die Verkettung von (linearen) Abbildungen ist nicht kommutativ.

Gegenbeispiel