o-mathe | Lineare und affine Abbildungen – geometrisch betrachtet » Zusammenfassung

Zusammenfassung - Lineare und affine Abbildungen

Geometrische Abbildungen

Wir betrachten Abbildungen, die jedem 2-dimensionalen Ausgangsvektor $\vec{x}$ einen Bildvektor ${\vec{x}}^{'}$ zuordnen.

$\underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} \to \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}}$

Jede solche Abbildung kann man als geometrische Abbildung in der Ebene betrachten. Hierzu werden die jeweiligen Vektoren als Punkte der Ebene gedeutet. Jedem Punkt der Ebene wird bei einer solchen Abbildung ein Bildpunkt zugeordnet.

Lineare Abbildungen

Eine wichtige Rolle spielen die linearen Abbildungen.

Lineare Abbildung

Eine lineare Abbildung (in der Ebene) ist eine Abbildung, die sich mit einer Vektorgleichung mit folgender Struktur beschreiben lässt:

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$

Den Bildpunkt $X^{'} (x_{1}^{'} | x_{2}^{'})$ zu einem Ausgangspunkt $X (x_{1} | x_{2})$ erhält man mit Hilfe linearer Gleichungen:

$\begin{array}{lcl} x_{1}^{'} & = & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} \end{array}$

Zu den linearen Abbildungen zählen Spiegelungen an den Koordinatenachsen, Drehungen um den Ursprung und Streckungen mit dem Ursprung als Streckzentrum. Es gibt zahlreiche weitere lineare Abbildungen wie z.B. Scherungen, die geometrisch betrachtet von Interesse sind.

Beispiel: Scherung in $x$ -Richtung

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$

Zum Herunterladen: lineareabbildungen_scherung.ggb

Affine Abbildungen

Affine Abbildungen kombinieren lineare Abbildungen mit Verschiebungen.

Affine Abbildung

Eine Abbildung $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ heißt affine Abbildung, wenn es eine Abbildungsmatrix $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ und einen Verschiebevektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ gibt mit:

Den Bildpunkt $X^{'} (x_{1}^{'} | x_{2}^{'})$ zu einem Ausgangspunkt $X (x_{1} | x_{2})$ erhält man mit Hilfe der Koordinatengleichungen:

$\begin{array}{lcl} x_{1}^{'} & = & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + v_{1} \\ x_{2}^{'} & = & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + v_{2} \end{array}$

Zu den affinen Abbildungen gehören u.a. die Verschiebungen und die Schubspiegelungen.

Beispiel: Schubspiegelung entlang der $x$ -Achse

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix})}}$

Zum Herunterladen: affineabbildungen_schubspiegelung.ggb

Beachte: Jede lineare Abbildung ist auch eine affine Abbildung (mit den Nullvektor als Verschiebevektor).

Geometrische Deutung der Bausteine einer affinen Abbildung

Als exemplarisches Beispiel betrachten wir die folgende affine Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0.5 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$

Zur geometrischen Deutung betrachten wir die Punkte $O (0 | 0)$ , $E_{1} (1 | 0)$ und $E_{2} (0 | 1)$ , die das Koordinatensystem aufspannen. Für die zugehörigen Bildpunkte bei der vorgegebenen affinen Abbildung erhält man:

$\begin{array}{lcl} (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} 3 \\ 4.5 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array}) \end{array}$

Es gilt dann:

$\begin{array}{lcl} \vec{O O^{'}} & = & (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}) \\ \vec{O^{'} E_{1}^{'}} & = & (\begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \end{array}) \\ \vec{O^{'} E_{2}^{'}} & = & (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}) \end{array}$

Das Applet verdeutlicht diese Ergebnisse.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsvektoren2.ggb

Im Applet kann man die Parameter der affinen Abbildung variieren. Es zeigt sich, dass die Vektoren $\vec{O^{'} E_{1}^{'}}$ und $\vec{O^{'} E_{2}^{'}}$ immer mit den Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix übereinstimmen. Man erhält das folgende zentrale Ergebnis.

Geometrische Deutung einer affinen Abbildung

Betrachte eine affine Abbildung:

(a) Deutung des Verschiebevektors:

Der Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ beschreibt (u.a.), wie der Koordinatenursprung $O$ abgebildet wird: $\vec{O O^{'}} = \vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$

(b) Deutung der Abbildungsmatrix:

Die Spaltenvektoren ${\vec{a}}_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix})$ und ${\vec{a}}_{2} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix})$ der Abbildungsmatrix $A$ beschreiben, wie die Einheitsvektoren $\vec{O E_{1}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{O E_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ abgebildet werden:

$\vec{O^{'} E_{1}^{'}} = {\vec{a}}_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix}); \vec{O^{'} E_{2}^{'}} = {\vec{a}}_{2} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix})$