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Erarbeitung

Zur Orientierung

Hier geht es darum, die geometrische Deutung von Vektoren zu präzisieren.

Vektoren als Verschiebungen deuten

Aufgabe 1

(a) Gib im Algebrafenster den Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})$ ein. Beschreibe, welche Verschiebung mit diesem Vektor beschrieben wird.

Zum Herunterladen: vektoren_verschiebung_ag.ggb

(b) Verschiebe im Geometriefenster das Ausgangsdreieck im Applet um $4$ Einheiten nach rechts und $2$ Einheiten nach oben. Beschreibe, wie diese Verschiebung im Algebrafenster dargestellt wird.

Zum Herunterladen: vektoren_verschiebung_ga.ggb

(c) Erläute anhand des Applets:

Geometrische Deutung von Vektoren

Jeder (2-dimensionale) Vektor kann geometrisch als Verschiebung (in der Ebene) gedeutet werden. Die Verschiebung kann man mit unendlich vielen Pfeilen geometrisch verdeutlichen, die alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind.

Umgekehrt: Jede Verschiebung (in der Ebene) lässt sich mit einem (2-dimensionale) Vektor algebraisch beschreiben.

Punkte mit Vektoren darstellen

Aus der Sekundarstufe kennst du die Darstellung von Punkten mit Hilfe von Koordinaten in der Form $P (4 | 3)$ . Hier werden Zahlen benutzt, um die Position eines Punktes $P$ im Koordinatensystem zu beschreiben.

(a) Gib im Algebrafenster den Vektor $\vec{p} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})$ ein. Erläutere, welcher Punkt sich mit diesem Vektor beschreiben lässt.

Zum Herunterladen: vektoren_punkt_ag.ggb

(b) Bewege den Punkt $P$ im Geometriefenster an die Position $P (4 | 1)$ . Beschreibe, wie sich dieser Punkt im Algebrafenster mit einem Vektor darstellen lässt.

Zum Herunterladen: vektoren_punkt_ga.ggb

(c) Erläute anhand des Applets:

Geometrische Deutung von Vektoren

Jeder (2-dimensionale) Vektor kann geometrisch als Punkt (in der Ebene) dargestellt werden. Die Komponenten des Vektors werden als Koordinaten eines Punktes gedeutet und legen so einen Punkt im Koordinatensystem fest. Man deutet den Vektor somit als Ortsvektors. Zur Veranschaulichung verwendet man einen Pfeil vom Koordinatenursprung zum betrachteten Punkt.

Umgekehrt: Jeder Punkt (in der Ebene) lässt sich mit einem (2-dimensionale) Vektor algebraisch beschreiben.

Verschiebungen rechnerisch durchführen

Im folgenden Applet wird beispielhaft eine Verschiebung angezeigt. Die Punkte Lage der Punkte $A$ und $B$ im Koordinatensystem kann man variieren.

Zum Herunterladen: vektoren_verschiebung_v3.ggb

Aufgabe 3

(a) Bestimme rechnerisch den Endpositionsvektor: $(\begin{matrix} - 3 \\ - 1 \end{matrix}) \overset{(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})}{⟶} \dots$

(a) Bestimme rechnerisch den Verschiebevektorvektor: $(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) \overset{(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})}{⟶} (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})$

Aufgabe 4

Verallgemeinere die Berechnungen in Aufgabe 3. Ergänze hierzu den folgenden Satz.

Verschiebungen rechnerisch durchführen

(a) Endpositionsvektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})$ und der Verschiebevektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ gegeben sind, dann erhält man den Endpositionsvektor $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ wie folgt:

$(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = \dots$

(b) Verschiebevektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})$ und der Endpositionsvektor $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ gegeben sind, dann erhält man den Verschiebevektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ wie folgt:

$(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = \dots$

Aufgabe 5

In den Schulbüchern in Österreich findet man folgende Formeln:

$B = A + \vec{A B}$

$\vec{A B} = B - A$

Kläre folgende Fragen: Was wird mit diesen Formeln beschrieben? Inwiefern unterscheiden sie sich von denen im Satz in Aufgabe 4?

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Geometrische Deutung von Vektoren

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