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Übungen - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen

Aufgabe 1

In den folgenden Teilaufgaben geht es darum, Abbildungen rechnerisch auszuführen und dann geometrisch zu deuten. Berechne zuerst die Bildpunkte. Versuche anhand der Koordinaten der betrachteten Ausgangs- und Bildpunkte die zugehörige geometrische Abbildung zu identifizieren. Überprüfe im Applet, indem du die Bildpunkte an die berechneten Stellen plazierst.

(a) Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Zuordnungstabelle:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$
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$(\begin{matrix} x_{1} \\ - x_{2} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...

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(b) Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Zuordnungstabelle:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$
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$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...

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(c) Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Zuordnungstabelle:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$
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$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...

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(d) Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Zuordnungstabelle:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$
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$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...

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(e) Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Zuordnungstabelle:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$
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$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...

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(f) Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Zuordnungstabelle:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$
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$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$	$(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$

Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...

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Aufgabe 2

Gegeben ist eine Ausgangsfigur mit den Eckpunkten $A (- 1 | - 1)$ , $B (1 | - 1)$ , $C (2 | 1)$ und $D (- 2 | 1)$ . Die Ausgangsfigur soll gestreckt werden. Das Streckzentrum ist der Koordinatenursprung.

(a) Betrachte das Streckfaktor $k = 3$ . Berechne die zugehörigen Bildpunkte. Überprüfe deine Ergebnisse zeichnerisch.

(b) Betrachte das Streckfaktor $k = - 0.5$ . Berechne die zugehörigen Bildpunkte. Überprüfe deine Ergebnisse zeichnerisch.

Aufgabe 3

Für Drehungen um den Koordinatenursprung gelten folgende Formeln:

Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) um den Ursprung mit dem Drehwinkel $α$

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (α) & - \sin (α) \\ \sin (α) & \cos (α) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

(a) Betrachte den Drehwinkel $α = 180 °$ . Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).

(b) Betrachte den Drehwinkel $α = 90 °$ . Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).

Aufgabe 4

Für Spiegelungen an Ursprungsgeraden gelten folgende Formeln:

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden, die den Winkel $α$ mit der $x$ -Achse einschließt

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (2 α) & \sin (2 α) \\ \sin (2 α) & - \cos (2 α) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

(a) Betrachte den Winkel $α = 90 °$ . Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).

(b) Betrachte den Drehwinkel $α = 45 °$ . Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).

Übungen - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) um den Ursprung mit dem Drehwinkel α

Aufgabe 4

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden, die den Winkel α mit der x-Achse einschließt

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Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) um den Ursprung mit dem Drehwinkel $α$

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden, die den Winkel $α$ mit der $x$ -Achse einschließt