Vertiefung

Geradengleichungen variieren

Im letzten Abschnitt wurde folgender Zusammenhang entwickelt:

Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{x}$ liegt auf der Geraden $g$ mit einem Stützvektor $\overrightarrow{p}$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ genau dann, wenn es eine reelle Zahlen $t$ gibt, so dass $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$ gilt.

Beachte zunächst, dass man den Parameter in einer Geradengleichung auch anders benennen kann. Statt des Parameters $t$ kann man genauso gut einen anders benannten Parameter (z.B. $r$) benutzen.

Auch bei der Wahl des Stütz- und einen Richtungsvektors gibt es Spielräume:

• Der Stützvektor kann ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Gerade sein. Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Stützvektors.
• Es gibt auch unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Richtungsvektorvektors. Der Vektor muss nur „entlang der Geraden“ liegen. Nicht erlaubt ist der Nullvektor, da er keine Richtung festlegt.

Aufgabe 1

Mache dir diese Variationsmöglichkeiten anhand des folgenden Applets klar. Im Applet kann man den Punkt $P$ (zur Festlegung des Stützvektors) und den rot dargestellten Punt (zur Festlegung des Richtungsvektors) auf der Geraden bewegen.

Zum Herunterladen: geradengleichung2.ggb

Aufgabe 2

Zeige anhand von Beispielen, wie sich die Parameterwerte zu vorgegebenen Punkten ändern, wenn man die Geradengleichung variiert. Zur Bestimmung der Parameterwerte kannst du ggf. das vorangehende Applet verwenden.

Geradengleichung	Darstellung der Punkte $(2|2.5)$, $(0|1.5)$, $(-3|0)$
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0.5\end{array}\right)$ mit $t\in \mathbb{R}$	$\begin{array}{lll}t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\end{array}\right)\end{array}$
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ mit $t\in \mathbb{R}$	$\begin{array}{lll}t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\end{array}\right)\end{array}$
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0.5\end{array}\right)$ mit $t\in \mathbb{R}$	$\begin{array}{lll}t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\end{array}\right)\end{array}$
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -0.5\end{array}\right)$ mit $t\in \mathbb{R}$	$\begin{array}{lll}t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)\\ t=\dots & :& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\end{array}\right)\end{array}$