Erarbeitung

Abbildungen algebraisch beschreiben

Eine geometrische Abbildung (in der Ebene) ordnet jedem Punkt $X$ der Ebene einen Bildpunkt $X^{\prime }$ zu. Wenn man die Punkte $X$ und $X^{\prime }$ vektoriell beschreibt, dann ordnet eine geometrische Abbildung jedem Vektor $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ einen Bildvektor ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)$ zu. Die Abbildung beschreibt man z.B. mit Hilfe von Gleichungen.

Aufgabe 1

Spiegelungen an der $x$-Achse kann man auch mit Hilfe eine Spiegelmatrix beschreiben. Ergänze hierzu die Komponenten der Matrix.

$\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$

Spiegelungen algebraisch darstellen

Aufgabe 2

In der folgenden Übersicht sind die Ergebnisse aus den Erkundungen im letzten Kapitel bereits eingetragen. Ergänze in der folgenden Übersicht jeweils die Einträge in der Matrix.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Spiegelung an der $x$-Achse: $\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& x_1\\ x_2^{\prime }& =& & -x_2\end{array}$	Spiegelung an der $x$-Achse: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$
	Spiegelung an der $y$-Achse: $\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& -x_1\\ x_2^{\prime }& =& & x_2\end{array}$	Spiegelung an der $y$-Achse: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$
	Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\begin{array}{lcll}{x}_1^{\prime }& =& & x_2\\ x_2^{\prime }& =& x_1& \end{array}$	Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$
	Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $\begin{array}{lcll}{x}_1^{\prime }& =& & -x_2\\ x_2^{\prime }& =& -x_1& \end{array}$	Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$
	Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Steigungswinkel $\alpha$: $\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& cos(2\alpha )\cdot x_1\\ & & +sin(2\alpha )\cdot x_2\\ x_2^{\prime }& =& sin(2\alpha )\cdot x_1\\ & & -cos(2\alpha )\cdot x_2\end{array}$	Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Steigungswinkel $\alpha$: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Drehungen algebraisch darstellen

Aufgabe 3

In der folgenden Übersicht sind die Ergebnisse aus den Erkundungen im letzten Kapitel bereits eingetragen. Ergänze in der folgenden Übersicht jeweils die Einträge in der Matrix.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $90°$: $\begin{array}{lcll}{x}_1^{\prime }& =& & -x_2\\ x_2^{\prime }& =& x_1\end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$
	Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $180°$: $\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& -x_1\\ x_2^{\prime }& =& & -x_2\end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$
	Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& cos(\alpha )\cdot x_1\\ & & -sin(\alpha )\cdot x_2\\ x_2^{\prime }& =& sin(\alpha )\cdot x_1\\ & & +cos(\alpha )\cdot x_2\end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Streckungen algebraisch darstellen

Aufgabe 4

In der folgenden Übersicht sind die Ergebnisse aus den Erkundungen im letzten Kapitel bereits eingetragen. Ergänze in der folgenden Übersicht jeweils die Einträge in der Matrix.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Streckung mit dem Streckzentrum $(0|0)$ und dem Streckfaktor $k$: $\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& k\cdot x_1\\ x_2^{\prime }& =& & k\cdot x_2\end{array}$	Streckung mit dem Streckzentrum $(0|0)$ und dem Streckfaktor $k$: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Verschiebungen algebraisch darstellen

Aufgabe 5

In der folgenden Übersicht sind die Ergebnisse aus den Erkundungen im letzten Kapitel bereits eingetragen. Ergänze in der Übersicht die vektorielle Darstellung von Verschiebungen. Vergleiche sie mit den Darstellungen von Spiegelungen, Drehungen und Streckungen. Worin besteht der strukturelle Unterschied?

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Verschiebung um $v_1$ in $x$-Richtung und $v_2$ in $y$-Richtung: $\begin{array}{lclll}{x}_1^{\prime }& =& x_1& +& v_1\\ x_2^{\prime }& =& x_2& +& v_2\end{array}$	Verschiebung mit dem Verschiebevektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$