Zusammenfassung - Geometrische Deutung von Vektoren
Die Grundidee
Die Verwendung von Vektoren in der Geometrie lässt sich anhand des folgenden Applets verdeutlichen.
Zum Herunterladen: drohne2dv2.ggb
Vektoren (als Zahlentupel) kann man in der Geometrie verwenden, wenn ein Koordinatensystem eingeführt ist: Mit Vektoren kann man Bewegungen bzw. Verschiebungen (in der 2D-Ebene bzw. im 3D-Raum) beschreiben. Mit Vektoren kann man zudem Positionen bzw. Punkte (in der 2D-Ebene bzw. im 3D-Raum) darstellen.
Wir führen das im Folgenden genauer aus und führen dabei auch übliche Bezeichnungen und Schreibweisen ein.
Deutung von Vektoren als Verschiebungen
Geometrische Deutung von Vektoren als Verschiebungen
Jeder (2-dimensionale) Vektor kann geometrisch als Verschiebung (in der Ebene) gedeutet werden. Die Verschiebung kann man mit unendlich vielen Pfeilen geometrisch verdeutlichen, die alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind.
Im folgenden Applet kann man im Algebrafenster einen Vektor eingeben; z.B. $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. Im Geometriefenster wird dann die zugehörige Verschiebung durchgeführt; im Beispiel: $3$ Einheiten nach rechts und $-2$ Einheiten nach oben.
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Algebraische Beschreibung von Verschiebungen mit Vektoren
Umgekehrt gilt auch: Jede Verschiebung (in der Ebene) lässt sich mit einem (2-dimensionale) Vektor algebraisch beschreiben.
Im folgenden Applet kann man im Geometriefenster das Dreeick verschieben; z.B. um $5$ Einheiten nach rechts und $1$ Einheit nach oben. Im Algebrafenster wird die Verschiebung mit einem Vektor beschrieben; im Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$.
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Deutung von Vektoren als Punkte
Geometrische Deutung von Vektoren als Punkte
Jeder (2-dimensionale) Vektor kann geometrisch als Punkt (in der Ebene) dargestellt werden. Die Komponenten des Vektors werden als Koordinaten eines Punktes gedeutet und legen so einen Punkt im Koordinatensystem fest. Man deutet den Vektor somit als Ortsvektors. Zur Veranschaulichung verwendet man einen Pfeil vom Koordinatenursprung zum betrachteten Punkt.
Im Algebrafenster kann man einen Vektor eingeben; z.B. den Vektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. Im Geometriefenster wird der Vektor mit dem zugehörigen Punkt $P(3|-2)$ dargestellt.
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Algebraische Beschreibung von Punkten mit Vektoren
Umgekehrt gilt auch: Jeder Punkt (in der Ebene) lässt sich mit einem (2-dimensionale) Vektor algebraisch beschreiben.
Im Geometriefenster kann man den Punkt $P$ an eine bestimmte Position bewegen; z.B. so, dass $P$ die Koordinaten $P(4|1)$ hat. Im Algebrafenster wird dieser Punkt mit dem Vektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ dargestellt.
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Verschiebungen rechnerisch durchführen
Im Applet oben wird beispielhaft die folgende Bewegung angezeigt.
$\underbrace{\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{Ausgangsposition}} \overbrace{\stackrel{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}}{\longrightarrow}}^{\text{Verschiebung}} \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}}_{\text{Endposition}}$
Am Beispiel sieht man direkt folgende Zusammenhänge:
Verschiebungen rechnerisch durchführen
(a) Endpositionsvektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und der Verschiebevektor
$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ gegeben sind, dann erhält man den zugehörigen
Endpositionsvektor $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ wie folgt:
$\underbrace{\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}}_{B} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}}_{A} + \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\overrightarrow{AB}} = \begin{pmatrix} a_1+v_1 \\ a_2+v_2 \end{pmatrix}$
(b) Verschiebevektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und der Endpositionsvektor
$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ gegeben sind, dann erhält man den zugehörigen Verschiebevektor
$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ wie folgt:
$\underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\overrightarrow{AB}} = \underbrace{\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}}_{B} - \underbrace{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}}_{A} = \begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}$
Vektoroperationen geometrisch deuten
Die geometrische Deutung von Vektoroperationen wird in der folgenden Übersicht anhand von Beispielen erläutert. In den Applets kann man die markierten Punkte bewegen und so die Beispiele variieren.
| Rechenoperation | algebraische Durchführung | geometrische Deutung |
|---|---|---|
| Vektoren addieren | Zwei Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$ addiert man, indem man die einzelne Komponenten addiert: $\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_addieren.ggb Geometrisch bedeutet das Addieren von zwei Vektoren, dass deren Pfeile zu einem Gesamtpfeil (resultierender Vektor, Summenvektor) zusammengefügt werden, der den direkten Weg angibt: |
| Vektoren invertieren |
Man erhält den Gegenvektor $-\vec{a}$ zu einem Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$
(so dass beide addiert den Nullvektor ergeben),
indem man die Gegenzahlen der einzelnen Komponenten bildet: $-\vec{a}=-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a_1\\-a_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_invertieren.ggb Geometrisch wird der Gegenvektor eines Vektors gebildet, indem man die Pfeile umkehrt. |
| Vektoren subtrahieren | Zwei Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$ subtrahiert man, indem man die einzelne Komponenten subtrahiert: $\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_subtrahieren.ggb Geometrisch bedeutet das Subtrahieren von zwei Vektoren, dass man Pfeile vom Endpunkt von $\vec{b}$ zum Endpunkt von $\vec{a}$ bildet. |
| Vektoren skalar multiplizieren |
Ein Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ wird mit einer reellen Zahl $t$ multipliziert,
indem man die einzelne Komponenten mit $t$ multipliziert: $t \cdot \vec{a}= t \cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t \cdot a_1\\t \cdot a_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_skalar_multiplizieren.ggb Geometrisch bedeutet die skalare Multiplikation einer Zahl $t$ mit dem Vektoren $\vec{a}$, dass die Pfeile zum Vektor $\vec{a}$ mit dem Faktor $t$ verlängert bzw. verkürzt werden. Wenn $t$ negativ ist, wird zudem die Orientierung umgekehrt. |
