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Zusammenfassung - Fixpunkte bei affinen Abbildungen

Das Fixpunktkonzept

Ein Fixpunkt einer Abbildung ist ein Punkt, der bei der Abbildung seine Position beibehält.

Fixpunkt einer geometrischen Abbildung

Ein Punkt $X$ ist ein Fixpunkt einer geometrischen Abbildung $α$ genau dann, wenn $α$ diesen Punkt auf sich selbst abbildet.

Im Applet sieht man, dass der Punkt $P$ ein Fixpunkt der vorgegebenen affinen Abbildung $α$ ist. Die Punkte $Q$ und $R$ sind dagegen keine Fixpunkte.

Zum Herunterladen: fixpunkte3.ggb

Bestimmung von Fixpunkten

Ein Punkt $X$ (mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ ) ist Fixpunkt von $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ genau dann, wenn für $X$ die Fixpunktgleichung $A \cdot \vec{x} + \vec{v} = \vec{x}$ gilt.

Zur Bestimmung von Fixpunkten einer affinen Abbildung $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ ermittelt man daher die Lösungen der zugehörigen Fixpunktgleichung $A \cdot \vec{x} + \vec{v} = \vec{x}$ .

Die folgenden Beispiele verdeutlichen die Fälle, die dabei auftreten können.

Beispiel 1:

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0.5 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$

Die Übersicht zeigt das Vorgehen zur Bestimmung der Fixpunkte. Im Applet oben kann man das Ergebnis kontrollieren.

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0.5 & 2 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})}} = \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 2 x_{1} & - & x_{2} & + & 2 & = & x_{1} \\ [2] & 0.5 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 1 & = & x_{2} \end{array}$
LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & = & - 2 \\ [2] & 0.5 x_{1} & + & x_{2} & = & - 1 \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & = & - 2 \\ [2] & 1.5 x_{1} & = & - 3 \end{array}$
Lösungen des LGS	$\begin{array}{lrrrcrcr} x_{2} & = & 0 \\ x_{1} & = & - 2 \end{array}$
Fixpunkte	Es gibt genau einen Fixpunkt: $(- 2 \| 0)$

Beispiel 2:

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$

Die Übersicht zeigt das Vorgehen zur Bestimmung der Fixpunkte. Im Applet oben kann man das Ergebnis kontrollieren.

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})}} = \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{2} & + & 2 & = & x_{1} \\ [2] & - x_{1} & + & 2 & = & x_{2} \end{array}$
LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{1} & - & x_{2} & = & - 2 \\ [2] & - x_{1} & - & x_{2} & = & - 2 \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{1} & - & x_{2} & = & - 2 \\ [2] & 0 & = & 0 \end{array}$
Lösungen des LGS	$\begin{array}{lcrclcr} x_{1} & = & 2 & - & r \\ x_{2} & = & r (r ist eine beliebige reelle Zahl) \end{array}$
Fixpunkte	Es gibt unendlich viele Fixpunkte: alle Punkte $(2 - r \| r)$ mit einer rellen Zahl $r$ . Diese bilden die Fixpunktgerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})$ .

Beispiel 3:

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$

Die Übersicht zeigt das Vorgehen zur Bestimmung der Fixpunkte. Im Applet oben kann man das Ergebnis kontrollieren.

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})}} = \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & + & x_{2} & + & 1 & = & x_{1} \\ [2] & x_{2} & + & 1 & = & x_{2} \end{array}$
LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{2} & = & - 1 \\ [2] & 0 & = & - 1 \end{array}$
Lösungen des LGS	es gibt keine Lösungen
Fixpunkte	Es gibt keine Fixpunkte.

Beispiel 4:

$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Die Übersicht zeigt das Vorgehen zur Bestimmung der Fixpunkte. Im Applet oben kann man das Ergebnis kontrollieren.

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & = & x_{1} \\ [2] & x_{2} & = & x_{2} \end{array}$
LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 0 & = & 0 \\ [2] & 0 & = & 0 \end{array}$
Lösungen des LGS	$x_{1}$ und $x_{2}$ können beliebig gewählt werden
Fixpunkte	Es gibt unendlich viele Fixpunkte: alle Punkte der Ebene sind Fixpunkte.

Die Beispiele verdeutlichen das Vorgehen und die möglichen Ergebnisse bei der Bestimmung von Fixpunkten: Die zur affinen Abbildung $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ gebildete Fixpunktgleichung $A \cdot \vec{x} + \vec{v} = \vec{x}$ lässt sich in ein linearen Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen überführen. Ein solches Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung oder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Hieraus erhält man direkt das folgende Ergebnis:

Fixpunkte bei affinen Abbildungen

Eine affine Abbildung hat entweder genau einen Fixpunkt oder keine Fixpunkte oder unendlich viele Fixpunkte.

Fixpunktgeraden

Die betrachteten Beispiele mit unendlich vielen Lösungen der Fixpunktgleichung führten zu den beiden folgenden Fällen:

Alle Lösungen der Fixpunktgleichung führen zu Punkten, die eine Gerade bilden. Man nennt eine solche Gerade dann Fixpunktgerade.
Alle Lösungen der Fixpunktgleichung führen zur Gesamtheit aller Punkte der Ebene. Die betrachtete affine Abbildung ist daher die identische Abbildung, die jeden Punkt der Ebene auf sich selbst abbildet. Jede Gerade in der Ebene ist dann auch eine Fixpunktgerade.

Sind das alle möglichen Fälle? Könnte es z.B. auch zwei Fixpunktgeraden geben? Diese Fragen sollen hier geklärt werden.

Betrachte zunächst folgende Situation:

Voraussetzung:
Zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ sind Fixpunkte von $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ .

Behauptung:
Dann sind alle Punkte auf der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ Fixpunkte von $α$ .

Jetzt kann man so argumentieren:

Wenn $P$ und $Q$ Fixpunkte von $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ sind, dann gilt $A \cdot \vec{p} + \vec{v} = \vec{p}$ und $A \cdot \vec{q} + \vec{v} = \vec{q}$ . Für alle Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})$ (für eine reelle Zahl $r$ ) gilt dann:

$\begin{array}{lcl} A \cdot \vec{x} + \vec{v} & = & A \cdot [\vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})] + \vec{v} \\ = & A \cdot \vec{p} + r \cdot (A \cdot \vec{q} - A \cdot \vec{p}) + \vec{v} \\ = & (A \cdot \vec{p} + \vec{v}) + r \cdot [(A \cdot \vec{q} + \vec{v}) - (A \cdot \vec{p} + \vec{v})] \\ = & \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p}) \\ = & \vec{x} \end{array}$

Alle Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})$ (für eine reelle Zahl $r$ ) sind folglich ebenfalls Fixpunkte von $α$ .

Im folgenden Applet sieht man: Wenn $P$ und $Q$ verschiedene Punkte sind, dann bilden alle Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})$ (für eine reelle Zahl $r$ ) die Gerade durch $P$ und $Q$ .

Zum Herunterladen: fixpunktgerade.ggb

Betrachte jetzt folgende Situation:

Voraussetzung:
Drei verschiedene Punkte $P$ , $Q$ und $R$ sind Fixpunkte von $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ . Zusätzlich wird vorausgesetzt, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

Behauptung:
Dann sind alle Punkte der Ebene Fixpunkte von $α$ .

Man kann jetzt analog zur ersten Situation herleiten, dass jeder Punkt $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + s \cdot (\vec{q} - \vec{p}) + t \cdot (\vec{r} - \vec{p})$ (mit reellen Zahlen $s$ und $t$ ) ebenfalls Fixpunkt von $α$ ist.

Im folgenden Applet sieht man: Wenn $P$ , $Q$ und $R$ die Voraussetzungen erfüllen (verschiedene Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen), dann bilden die Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + s \cdot (\vec{q} - \vec{p}) + t \cdot (\vec{r} - \vec{p})$ (mit reellen Zahlen $s$ und $t$ ) alle Punkte der Ebene.

Zum Herunterladen: allepunktefixpunkte.ggb

Mit diesen Überlegungen lässt sich der Satz über die Fixpunkte einer affinen Abbildung so verfeinern:

Fixpunkte einer affinen Abbildung

Ein Punkt $X$ (mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ ) ist Fixpunkt der affinen Abbildung $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ genau dann, wenn für $X$ die Fixpunktgleichung $A \cdot \vec{x} + \vec{v} = \vec{x}$ erfüllt ist.

Folgende Fälle sind möglich:

Es existiert genau ein Fixpunkt.
Es existiert kein Fixpunkt.
Es existieren unendlich viele Fixpunkte, die alle auf einer Fixpunktgeraden liegen.
Alle Punkte der Ebene sind Fixpunkte. Jeder Punkt der Ebene wird somit auf sich selbst abgebildet. Die affine Abbildung ist also die identische Abbildung. Somit ist auch jede Gerade eine Fixpunktgerade.

Zusammenfassung - Fixpunkte bei affinen Abbildungen

Das Fixpunktkonzept

Fixpunkt einer geometrischen Abbildung

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Fixpunktgeraden

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