Erarbeitung

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Ein typisches Beispiel betrachten

Betrachte die im Applet vorgegebene lineare Abbildung $\alpha$ und Gerade $g$.

Aufgabe 1

Eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$ erhält man, indem man die Vektoren zu den Punkten der Gerade $g$ in die Abbildungsgleichung $\alpha$ einsetzt:

$\alpha (g):\underset{{\overrightarrow{x}}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)}}\cdot [\underset{\overrightarrow{p}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)}}+t\cdot \underset{\overrightarrow{u}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}1\\ 0.5\end{array}\right)}}]+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}}=\dots$

(a) Zeige durch Umformen, dass man folgende Vektorgleichung erhält:

$\alpha (g):\underset{{\overrightarrow{x}}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{{\overrightarrow{p}}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0.5\\ 2.5\end{array}\right)}}+t\cdot \underset{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0.5\\ 0.5\end{array}\right)}}$

(b) Erläutere, warum die Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$ eine Gerade $g^{\prime }$ bildet. Du kannst hierzu auch das folgende Applet verwenden.

Applet zur Verdeutlichung

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Einen Sonderfall betrachten

Betrachte auch das folgende Beispiel.

Aufgabe 2

(a) Bestimme auch hier $\alpha (g)$. Was fällt auf? Deute das Ergebnis. Überprüfe deine Ergebnisse im folgenden Applet.

$\alpha (g):\underset{{\overrightarrow{x}}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}\cdot [\underset{\overrightarrow{p}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)}}+t\cdot \underset{\overrightarrow{u}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}}]+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}}=\dots$

Applet zur Verdeutlichung

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(b) Warum erhält man im vorliegenden Beispiel keine Bildgerade?

Zur Kontrolle

$P$ und $Q$ werden auf denselben Punkt $(0|2)$ abgebildet. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Geraden $g$ wird somit auf den Nullvektor abgebildet. Das sieht man auch in der folgenden Berechnung:

Es gilt: $\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{u}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

Die Betrachtungen verallgemeinern

Betrachte jetzt eine beliebige lineare Abbildung $\alpha$ und eine beliebige Gerade $g$.

Aufgabe 3

(a) Gehe analog zum Beispiel oben vor. Zeige, dass man folgende vektorielle Darstellung erhält:

$\alpha (g):[A\cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{v}]+t\cdot [A\cdot \overrightarrow{u}]$

(b) Begründe: Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist $A\cdot \overrightarrow{u}$ nicht der Nullvektor. $\alpha (g)$ ist dann die Vektorgleichung einer Geraden $g^{\prime }$. Beschreibe dabei auch, wie man den Stützvektor ${\overrightarrow{p}}^{\prime }$ und den Richtungsvektor ${\overrightarrow{u}}^{\prime }$ von $g^{\prime }$ aus den entsprechenden Vektoren zur Geraden $g$ erhält.

(c) Ergänze den folgenden Satz zur präzisen Beschreibung des gefundenen Ergebnisses.

Geradentreue als Eigenschaft von Abbildungen deuten

Eine Abbildung ist geradentreu, wenn sie Geraden wieder auf Geraden abbildet.

Die Betrachtungen oben zeigen, dass affine Abbildungen im Regelfall geradentreu sind. Ein Sonderfall tritt ein, wenn die Abbildung des Richtungsvektors den Nullvektor ergibt. In diesem Fall liefert die affine Abbildung keine Gerade als Bild der Ausgangsgeraden.

Geradentreue ist keine Selbstverständlichkeit. Betrachte hierzu die Abbildung im folgenden Applet. Bewege den Punkt $X$ auf der Geraden $g$ und beobachte, welches Bild die vorgegebene Abbildung erzeugt.

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