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Vertiefung - Lineare (Un-) Abhängigkeit

Zur Orientierung

Zur Beschreibung der Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt verwenden wir das in der Linearen Algebra fundamentale Konzept der linearen (Un-) Abhängigkeit.

Zusammenhänge mit einen neuen Fachkonzept beschreiben

Mit Hilfe des Applets hast du vermutlich Folgendes festgestellt: Eine lineare / affine Abbildung erzeugt aus dem Einheitsquadrat ein Parallelogramm genau dann, wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatix bzw. die Bilder der Einheitsvektoren $\vec{O^{'} E_{1}^{'}}$ und $\vec{O^{'} E_{2}^{'}}$ nicht parallel sind. Das ist dann der Fall, wenn diese Vektoren keine Vielfache voneinander sind.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsquadrat.ggb

Wir verwenden das (bereits im Kapitel Inverse Matrix eingeführte) Konzept der linearen Unabhängigkeit, um diesen Sachverhalt zu beschreiben.

Lineare (Un-) Abhängigkeit

Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist bzw. wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ gilt.

Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.

Beispiele

$\vec{u} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da $\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$ (bzw. $\vec{u} = \frac{1}{2} \cdot \vec{u}$ ).
$\vec{u} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ sind linear unabhängig, da $\vec{v}$ kein Vielfaches von $\vec{u}$ sein kann und $\vec{u}$ auch kein Vielfaches von $\vec{v}$ sein kann.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u}$ .

Aufgabe 1

Benutze das Fachkonzept der linearen (Un-) Abhängigkeit, um in der folgenden Übersicht die noch ausstehenden Bedingungen zu formulieren.

Bedingung	Beispiel	Bild des Einheitsquadrats
Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind ...	$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0.5 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})}}$	Das 2D-Einheitsquadrat wird auf ein 2D-Parallelogramm abgebildet.
...	$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})}}$	Das 2D-Einheitsquadrat wird auf eine 1D-Strecke abgebildet.
Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind beide Nullvektoren.	$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})}}$	Das 2D-Einheitsquadrat wird auf einen 0D-Punkt abgebildet.

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