Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es um die Frage, wie man das Bild einer Strecke bei einer affinen Abbildung bestimmen kann.
Die Ausgangssituation präzisieren
Gegeben ist eine affine Abbildung $\alpha$ und eine Strecke $\overline{PQ}$.
Zum Herunterladen: abbildung_strecke.ggb
Im Applet sieht man: Wenn man den Punkt $X$ längs der Strecke $\overline{PQ}$ bewegt, dann bewegt sich der Bildpunkt $X'$ längs einer Strecke $\overline{P'Q'}$.
Ziel ist es, diese Beobachtung algebraisch zu begründen.
Eine Begründung zur Beobachtung entwickeln
Schritt 1
In einem ersten Schritt wird die Gesamtheit aller Punkte einer Strecke mit einer Vektorgleichung beschrieben.
Betrachte als Beispiel die Strecke $\overline{PQ}$ zu den Punkten $P(4|0)$ und $Q(4|4)$ (dargestellt im Applet).
Aufgabe 1
(a) Die Übersicht enthält einige Vorschläge, wie eine Vektorgleichung zur Beschreibung der Strecke $\overline{PQ}$ aussehen könnte. Prüfe, ob sich die vorgeschlagenen Vektorgleichungen zur Beschreibung eignen. Bestimme hierzu weitere Beispiele und ggf. auch Gegenbeispiele.
| Vorschlag | Vektorgleichung | Beispiele | Eignung (j/n) |
|---|---|---|---|
| (a) | $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ y \end{pmatrix}$ mit $0 \leq y \leq 4$ |
y = 0: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ ... |
|
| (b) | $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ y \end{pmatrix}$ mit $0 \leq y \leq 2$ |
y = 0: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ ... |
|
| (c) | $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4t \end{pmatrix}$ mit $0 \leq t \leq 4$ |
t = 0: $\vec{x} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ ... |
|
| (d) | $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4t \end{pmatrix}$ mit $0 \leq t \leq 1$ |
t = 0: $\vec{x} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ ... |
|
| (e) | $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ mit $0 \leq t \leq 1$ |
t = 0: $\vec{x} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ ... |
|
| (f) | $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $0 \leq t \leq 4$ |
t = 0: $\vec{x} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ ... |
|
| (g) | $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ mit $0 \leq t \leq 1$ |
t = 0: $\vec{x} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ ... |
(b) Im folgenden Applet wird eine der oben aufgeführten Vektorgleichungen zur Beschreibung der Strecke $\overline{PQ}$ benutzt. Welche? Begründe und erläutere die Bestandteile.
Schritt 2
Im zweiten Schritt wird die Gesamtheit aller Bildpunkte zur vorgegebenen Strecke ermittelt.
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet oben vorgebene affine Abbildung:
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
Bestimme mit dieser Abbildung die Bildpunkte der Strecke $\overline{PQ}$ zu den Punkten $P(4|0)$ und $Q(4|4)$, die mit folgender Vektorgleichung beschrieben wird:
$\overline{PQ}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ mit $0 \leq t \leq 1$
Gehe dabei so vor und ergänze die Umformungen. Nutze bei den Umformungen die Gesetze für das Rechnen mit Matrizen.
$\alpha\left(\overline{PQ}\right): \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right] + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \dots$
Kontrolliere mit dem folgenden Applet.
Schritt 3
Im dritten Schritt wird die Vektorgleichung zur Beschreibung der Bildpunkte gedeutet.
Aufgabe 3
Im vorangehenden Applet kannst du die Vektorgleichung für die Gesamtheit aller Bildpunkte $\alpha\left(\overline{PQ}\right)$ zur vorgegebenen Strecke $\overline{PQ}$ einblenden.
Erläutere anhand der Vektorgleichung für $\alpha\left(\overline{PQ}\right)$, dass die Bildpunkte zur vorgegebenen Strecke $\overline{PQ}$ die Strecke $\overline{P'Q'}$ bilden. Das Bild der vorgegebenen Strecke ist somit wieder eine Strecke.
Weitere Stecken betrachten
Aufgabe 4
Gehe analog vor und bestimme Vektorgleichungen für die Bildpunkte weiterer Strecke $\overline{PQ}$ bei der affinen Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
(a) Betrachte die Strecke $\overline{PQ}$ mit $P(0|4)$ und $Q(4|4)$.
(b) Betrachte die Strecke $\overline{PQ}$ mit $P(0|0)$ und $Q(4|0)$.
(c) Betrachte die Strecke $\overline{PQ}$ mit $P(0|0)$ und $Q(0|4)$.
Die Ergebnisse kannst du mit dem folgenden Applet kontrollieren. Bringe die Punkte $P$ und $Q$ hierzu an die passenden Positionen.
