Erarbeitung

Ursprungsgeraden bei linearen Abbildungen untersuchen

Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene lineare Abbildung. Gibt es Ursprungsgeraden, die Fixgeraden dieser Abbildung sind? Wie kann man sie ggf. rechnerisch bestimmen? Diese Fragen werden im Folgenden geklärt.

Zum Herunterladen: fixgerade2.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet voreingestellte lineare Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.

(a) Bestimme zunächst experimentell im Applet die Ursprungsgeraden, die Fixgeraden der linearen Abbildung $\alpha$ sind.

Zur Kontrolle

Es gibt zwei Fixgeraden:

$g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$);
$g$ erhält man, indem man den Punkt $P$ im Koordinatenursprung lässt und $Q$ z.B. an die Position $(2|1)$ bringt.

$h: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$);
$h$ erhält man, indem man den Punkt $P$ im Koordinatenursprung lässt und $Q$ z.B. an die Position $(1|-1)$ bringt.

(b) Begründe: Wenn man im Applet den Punkt $P$ im Ursprung belässt, dann muss man den Punkt $Q$ in eine Position bringen, so dass $\vec{u}\;' = \lambda \cdot \vec{u}$ mit $\lambda \neq 0$ gilt.

Aufgabe 2

Betrachte eine beliebige lineare Abbildung $\alpha$ mit $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$.

(a) Begründe die folgenden Aussagen.

• Eine Ursprungsgerade $g$ lässt sich in der Form $g: \vec{x} = t \cdot \vec{u}$ mit einem Richtungsvektor $\vec{u} \neq \vec{0}$ darstellen.
• Für $\vec{x} = t \cdot \vec{u}$ gilt $\vec{x}' = t \cdot (A \cdot \vec{u})$.
• $\alpha(g): \vec{x}' = t \cdot (A \cdot \vec{u})$ ist eine Ursprungsgerade, falls $A \cdot \vec{u} \neq \vec{0}$ gilt.
• $A \cdot \vec{u}$ und $\vec{u}$ beschreiben dieselbe Richtung, wenn $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$ mit einer reellen Zahl $\lambda \neq 0$ gilt bzw. wenn $\vec{u}$ ein Eigenvektor von $A$ ist mit einem Eigenwert $\lambda \neq 0$.

(b) Begründe mit den vorangehenden Überlegungen den folgenden Satz.

Aufgabe 3

Betrachte noch einmal die im Applet voreingestellte lineare Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.

(a) Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Zur Kontrolle

Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: $\lambda_1 = 2; \lambda_2 = -1$

Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:
$\begin{array}{llll} \lambda_1 = 2 & : & \vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \\ \lambda_2 = -1 & : & \vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \end{array}$

(b) Was haben die Eigenvektoren von $A$ mit den Fixgeraden in Aufgabe 1 und Aufgabe 2 zu tun? Stelle Bezüge her.