Vertiefung
Zur Orientierung
Hier betrachten wir noch einmal genauer die Fälle, in denen eine affine Abbildung unendlich viele Fixpunkte hat.
Die betrachteten Beispiele im letzten Abschnitt mit unendlich vielen Lösungen der Fixpunktgleichung führten zu den beiden folgenden Fällen:
- Alle Lösungen der Fixpunktgleichung führen zu Punkten, die eine Gerade bilden. Man nennt eine solche Gerade dann Fixpunktgerade.
- Alle Lösungen der Fixpunktgleichung führen zur Gesamtheit aller Punkte der Ebene. Die betrachtete affine Abbildung ist daher die identische Abbildung, die jeden Punkt der Ebene auf sich selbst abbildet. Jede Gerade ist dann auch eine Fixpunktgerade.
Sind das alle möglichen Fälle? Könnte es z.B. auch zwei Fixpunktgeraden geben? Diese Fragen sollen hier geklärt werden.
Mit Fixpunkten argumentieren - Teil 1
Betrachte folgende Situation:
Voraussetzung:
Zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ sind Fixpunkte von $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$.
Behauptung:
Dann sind alle Punkte auf der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ Fixpunkte von $\alpha$.
Aufgabe 1
(a) Erläutere Schritt für Schritt die folgende Argumentation:
Wenn $P$ und $Q$ Fixpunkte von $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ sind, dann gilt $A \cdot \vec{p} + \vec{v} = \vec{p}$ und $A \cdot \vec{q} + \vec{v} = \vec{q}$. Für alle Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})$ (für eine reelle Zahl $r$) gilt dann:
$\begin{array}{lcl} A \cdot \vec{x} + \vec{v} & = & A \cdot [\vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})] + \vec{v} \\ & = & A \cdot \vec{p} + r \cdot (A \cdot \vec{q} - A \cdot \vec{p}) + \vec{v} \\ & = & (A \cdot \vec{p} + \vec{v}) + r \cdot [(A \cdot \vec{q} + \vec{v}) - (A \cdot \vec{p} + \vec{v})] \\ & = & \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p}) \\ & = & \vec{x} \end{array}$
Alle Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})$ (für eine reelle Zahl $r$) sind folglich ebenfalls Fixpunkte von $\alpha$.
(b) Erläutere anhand des folgenden Applets:
Wenn $P$ und $Q$ verschiedene Punkte sind, dann bilden alle Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot (\vec{q} - \vec{p})$ (für eine reelle Zahl $r$) die Gerade durch $P$ und $Q$.
Zum Herunterladen: fixpunktgerade.ggb
Mit Fixpunkten argumentieren - Teil 2
Betrachte folgende Situation:
Voraussetzung:
Drei verschiedene Punkte $P$, $Q$ und $R$ sind Fixpunkte von $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$.
Zusätzlich wird vorausgesetzt, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Behauptung:
Dann sind alle Punkte der Ebene Fixpunkte von $\alpha$.
Aufgabe 2
(a) Entwickle analog zur Herleitung in Aufgabe 1 selbsständig eine Herleitung für folgende Aussage:
Wenn $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ sind, dann ist jeder Punkt $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + s \cdot (\vec{q} - \vec{p}) + t \cdot (\vec{r} - \vec{p})$ (mit reellen Zahlen $s$ und $t$) ebenfalls Fixpunkt von $\alpha$.
(b) Erläutere anhand des folgenden Applets:
Wenn $P$, $Q$ und $R$ die Voraussetzungen erfüllen (verschiedene Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen), dann bilden die Punkte $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + s \cdot (\vec{q} - \vec{p}) + t \cdot (\vec{r} - \vec{p})$ (mit reellen Zahlen $s$ und $t$) alle Punkte der Ebene.
Zum Herunterladen: allepunktefixpunkte.ggb
Aufgabe 3
Erkläre, welchen Beitrag die Argumentationen in Aufgabe 1 und Aufgabe 2 zum folgenden Satz liefern.
Fixpunkte einer affinen Abbildung
Ein Punkt $X$ (mit dem Ortsvektor $\vec{x}$) ist Fixpunkt der affinen Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ genau dann, wenn für $X$ die Fixpunktgleichung $A \cdot \vec{x} + \vec{v} = \vec{x}$ erfüllt ist.
Folgende Fälle sind möglich:
- Es existiert genau ein Fixpunkt.
- Es existiert kein Fixpunkt.
- Es existieren unendlich viele Fixpunkte, die alle auf einer Fixpunktgeraden liegen.
- Alle Punkte der Ebene sind Fixpunkte. Jeder Punkt der Ebene wird somit auf sich selbst abgebildet. Die affine Abbildung ist also die identische Abbildung. Somit ist auch jede Gerade eine Fixpunktgerade.
