Vertiefung
Zur Orientierung
Hier geht es weiterhin um die Frage, wie man beliebige Geraden mit Hilfe Vektorgleichungen beschreiben kann.
Geradengleichungen variieren
Im letzten Abschnitt wurde folgender Zusammenhang entwickelt:
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt auf der Geraden $g$ mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ genau dann, wenn es eine reelle Zahlen $t$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ gilt.
Beachte zunächst, dass man den Parameter in einer Geradengleichung auch anders benennen kann. Statt des Parameters $t$ kann man genauso gut einen anders benannten Parameter (z.B. $r$) benutzen.
Auch bei der Wahl des Stütz- und einen Richtungsvektors gibt es Spielräume:
- Der Stützvektor kann ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Gerade sein. Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Stützvektors.
- Es gibt auch unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Richtungsvektorvektors. Der Vektor muss nur „entlang der Geraden“ liegen. Nicht erlaubt ist der Nullvektor, da er keine Richtung festlegt.
Aufgabe 1
Mache dir diese Variationsmöglichkeiten anhand des folgenden Applets klar. Im Applet kann man den Punkt $P$ (zur Festlegung des Stützvektors) und den rot dargestellten Punt (zur Festlegung des Richtungsvektors) auf der Geraden bewegen.
Zum Herunterladen: geradengleichung2.ggb
Aufgabe 2
Zeige anhand von Beispielen, wie sich die Parameterwerte zu vorgegebenen Punkten ändern, wenn man die Geradengleichung variiert. Zur Bestimmung der Parameterwerte kannst du ggf. das vorangehende Applet verwenden.
| Geradengleichung | Darstellung der Punkte $(2|2.5)$, $(0|1.5)$, $(-3|0)$ |
|---|---|
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -0.5 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = \dots &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
