Übungen - Geometrische Deutung von Vektoren
Aufgabe 1
Eine Drohne soll die Route Haus des Nikolaus
abfliegen.
Erstelle einen Flugplan für dieser Route. Den Startpunkt $(a_1, a_2)$ und die Länge der Teilabstände kannst du frei wählen.
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \dots$
Teste deinen Flugbahn im Applet.
Aufgabe 2
In der Grafik wird eine Verschiebung mit Hilfe einer Ausgangs- und verschobenen Figur beschrieben.
(a) Beschreibe die Verschiebung exemplarisch mit Hilfe von Zuordnungen von Punkten.
$\underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{a}}
\stackrel{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}{\longrightarrow}
\underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{a}\;'}$
$\underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{b}}
\stackrel{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}{\longrightarrow}
\underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{b}\;'}$
$\underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{c}}
\stackrel{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}{\longrightarrow}
\underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{c}\;'}$
(b) Erläutere anhand der betrachteten Verschiebung:
- Die Verschiebung kann man mit einem Vektor beschreiben.
- Die Verschiebung einzelner Punkte kann man rechnerisch mit Vektoren durchführen.
Aufgabe 3
In der Tabelle werden Punkte und Verschiebungen mit Hilfe von Vektoren beschrieben. Ergänze jeweils die fehlenden Koordinaten.
| Aufgabe | Verschiebung | Koordinaten der Vektoren |
|---|---|---|
| (a) | $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ |
$e_1 = $ $e_2 = $ |
| (b) | $\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ |
$v_1 = $ $v_2 = $ |
| (c) | $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ |
$a_1 = $ $a_2 = $ |
| (d) | $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \quad \stackrel{\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ |
$e_1 = $ $e_2 = $ |
| (e) | $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \quad \stackrel{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ |
$v_1 = $ $v_2 = $ |
| (f) | $\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix} \stackrel{-\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ |
$e_1 = $ $e_2 = $ |
| (g) | $\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \end{pmatrix} \stackrel{2 \cdot \begin{pmatrix} v1 \\ v_2 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ |
$v_1 = $ $v_2 = $ |
Aufgabe 4
Was beschreibt die folgende Gleichung? Verdeutliche mit Hilfe konkreter Zahlenwerte und allgemein anhand einer Skizze.
$\overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AA }$
Aufgabe 5
Die Punkte $A$ und $B$ legen eine Strecke fest. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt dieser Strecke. Im Applet kannst du die Lage der Punkte $A$ und $B$ variieren.
Zum Herunterladen: mittelpunkt.ggb
Ziel ist es, Formeln zur Berechnung von $M$ aus den vorgegebenen Endpunkten $A$ und $B$ der Strecke zu entwickeln.
(a) Gib für $X$ und $Y$ die passenden Punkte an:
$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{ XY }$
(b) Begründe:
$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \left( \vec{b} - \vec{a} \right)$
(c) Leite mit den Rechengesetzen für Vektoren her:
$\vec{m} = \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{a} \right)$
(d) Teste die Formeln mit konkreten Fallbeispielen im Applet. Dokumentiere jeweils ein typisches Testbeispiel.
