Übungen - Fixpunkte und Fixgeraden
Aufgabe 1
Betrachte die Standardabbildungen in der Tabelle. Ergänze jeweils (möglichst) alle Fixelemente.
| Abbildung | Fixelemente (Fixpunkte, Fixgeraden, Fixpunktgeraden) |
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Abbildung: zentrische Streckung mit dem Ursprumg als Streckzentrum
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Abbildung: Verschiebung mit dem Verschiebevektor $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$
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Abbildung: Spiegelung an der $y$-Achse
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Abbildung: Drehung um den Ursprung um $90°$
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Abbildung: Drehung um den Ursprung um $180°$
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Aufgabe 2
Alles falsche Aussagen! Begründe jeweils mit einem Gegenbeispiel.
(A) Jede affine Abbildung hat mindestens einen Fixpunkt.
(B) Jede lineare Abbildung hat mindestens eine Fixgerade.
(C) Jede Fixgerade einer linearen Abbildung ist eine Ursprungsgerade.
(D) Jede Fixpunktgerade einer affinen Abbildung ist eine Ursprungsgerade.
(E) Jede Fixgerade einer affinen Abbildung hat mindestens einen Fixpunkt.
(F) Jeder Fixpunkt einer affinen Abbildung liegt auf einer Fixgeraden.
Aufgabe 3
Bestimme jeweils rechnerisch die Fixpunkte (und Fixpunktgeraden) der folgenden Abbildungen. Kontrolliere im Applet unten.
(a) $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
(b) $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
(c) $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
(d) $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Aufgabe 4
Im Kapitel Abbildung von Geraden wurde folgendes zentrales Ergebnis hergeleitet.
Für jede affine Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ mit einer invertierbaren Abbildungsmatrix $A$ gilt: Wenn man alle Punkte einer Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ mit $\alpha$ abbildet, dann bildet die Gesamtheit der Bildpunkte eine Gerade $g': \vec{x}' = \vec{p}' + t \cdot \vec{u}'$ mit $\vec{p}' = A \cdot \vec{p} + \vec{v}$ und $\vec{u}' = A \cdot \vec{u}$.
(a) Begründe mit diesem Wissen: Ist $g$ eine Fixpunktgerade von $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$, so hat $A$ den Eigenwert $\lambda = 1$.
(b) Warum hat die folgende affine Abbildung $\alpha$ keine Fixpunktgerade? Begründe mit (a).
Aufgabe 5
Betrachte die folgende affine Abbildung:
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
(a) Zeige, diese Abbildung den Fixpunkt $F(2|1)$ hat.
(b) Zeige, dass man $\alpha$ auch mit Hilfe des Fixpunktes so beschreiben kann:
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
(c) Erkläre die folgende Deutung von (b):
- Zuerst verschiebt man $\vec{x}$ mit $\vec{f} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
- Dann bildet man $\vec{x} - \vec{f}$ mit der linearen Abbildung $\alpha_0: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ ab.
- Das Ergebnis verschiebt man abschließend mit $\vec{f} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
(d) Begründe allgemein: Ist $F$ Fixpunkt der affinen Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$, dann lässt sich $\alpha$ auch mit dem Ortsvektor $\vec{f}$ von $F$ so darstellen: $\alpha: \vec{x}' = A \cdot [\vec{x} - \vec{f}] + \vec{f}$
Aufgabe 6
(a) Betrachte die lineare Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.
Zeige, dass die Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ die Eigenwerte $\lambda_1 = 2; \lambda_2 = -1$ hat. Bestimme die zugehörigen Eigenvektoren und mit diesen die Fixgeraden $\alpha$.
(b) Betrachte die affine Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Zeige, dass $\alpha$ den Fixpunkt $F(-1|1)$ hat. Bestimme mit Hilfe von (a) die Fixgeraden von $\alpha$.
(c) Überprüfe deine Ergebnisse im Applet.
