Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier wird geklärt, wie man die Parallelität von zwei Geraden anhand der zugehörigen Geradengleichungen erkennen kann.
Parallelität von Geraden charakterisieren
Im Applet sind zwei Geraden $g$ und $h$ vorgegeben. Die Lage dieser Geraden kann man verändern, indem man die markierten Punkte auf den beiden Geraden (ohne Füllung) hin und her bewegt.
Zum Herunterladen: parallelegeraden.ggb
Aufgabe 1
In der Ausgangslage sind die beiden Geraden $g$ und $h$ nicht parallel. Ändere die Lage einer oder beider Geraden so ab, dass sie parallel verlaufen. Es gibt hierfür zahlreiche Möglichkeiten – theoretisch unendlich viele. Trage mindestens drei verschiedene Ergebnisse in die folgende Tabelle ein.
| Gerade 1 | Gerade 2 | parallel (j/n) |
|---|---|---|
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ | $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ | n |
| ... | ... | |
| ... | ... | |
| ... | ... |
Aufgabe 2
Wie zeigt sich die Parallelität von zwei Geraden in den zugehörigen Geradengleichungen? Ergänze den folgenden Satz.
Parallelität bei Geraden
Zwei Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{w}$ sind parallel genau dann, wenn ...
Einen Fachbegriff verwenden
Zur Charakterisierung von Parallelität verwendet man meist den folgenden Fachbegriff.
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k\cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k\cdot \vec{u}$ gilt. Wir schreiben dann $\vec{u} \parallel \vec{v}$.
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Beispiele
(a) Die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da $\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$ bzw. $\vec{u} = 0.5 \cdot \vec{v}$.
(b) Die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da $\vec{u} = (-4) \cdot \vec{v}$ bzw. $\vec{v} = (-\frac{1}{4}) \cdot \vec{u}$.
(c) Die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sind nicht linear abhängig, da keiner der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist.
(d) Die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u}$.
Beachte:
- Wenn einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, dann sind die beiden Vektoren auf jeden Fall linear abhängig.
- Wenn keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist, dann gilt: Wenn Vektor $\vec{u}$ ein Vielfaches von $\vec{v}$ ist (d.h. $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$), dann ist auch umgekehrt $\vec{v}$ ein Vielfaches von $\vec{u}$ (da $\frac{1}{k} \cdot \vec{u} = \vec{v}$).
- Wenn keiner der beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der Nullvektor ist, dann reicht es, folgende Bedingung zu überprüfen: Gibt es eine reelle Zahl $k$, so dass Vektor $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ gilt?
Aufgabe 3
Verwende den neuen Fachbegriff, um das zentrale Ergebnis dieses Abschnitts zu formulieren. Ergänze den folgenden Satz.
Parallelität bei Geraden
Zwei Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{w}$ sind parallel genau dann, wenn ...
