Übungen - Umkehrung von Abbildungen
Aufgabe 1
Betrachte die folgende lineare Abbildung $\alpha$:
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Stelle mit den Schiebereglern die Abbildungsmatrix ein. Drücke die Schaltfläche [Abbilden], die eingestellte Abbildung wird dann dynamisch durchgeführt.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_1.ggb
Begründe: Die lineare Abbildung $\alpha$ ist nicht umkehrbar. Nutze zur Begründung Zuordnungsbeispiele.
Aufgabe 2
Gib jeweils die Umkehrabbildung an. Beschreibe sie algebraisch und informell mit Worten.
| Abbildung | Umkehrabbildung |
|---|---|
|
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden |
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dots & \dots \\
\dots & \dots
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
... |
|
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Drehung um den Ursprung um $180°$ |
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dots & \dots \\
\dots & \dots
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
... |
|
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Streckung in $y$-Richtung mit dem Faktor $2$ |
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dots & \dots \\
\dots & \dots
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
... |
|
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Scherung um $1$ Einheit in $x$-Richtung |
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dots & \dots \\
\dots & \dots
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
... |
|
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Spiegelung an der $x$-Achse mit zusätzlicher Verschiebung in $x$-Richtung |
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dots & \dots \\
\dots & \dots
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
... |
Aufgabe 3
Betrachte die folgende lineare Abbildung:
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
(a) Überzeuge dich zunächst mit Hilfe des Applets, dass $\alpha$ umkehrbar ist.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_1.ggb
(b) Ergänze die folgenden Zuordnungen. Überprüfe im Applet.
$\alpha: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\alpha: \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
(c) Bestimme die Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ mit Hilfe der Zuordnungen aus (b). Gehe dabei von folgendem Ansatz aus.
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
| Bedingungen | Vektorgleichungen | Koordinatengleichungen | Lösungen |
|---|---|---|---|
| $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\dots \\ [2] &\dots \end{array}$ | $\begin{array}{lcl} b & = & \dots \\ d & = & \dots \end{array}$ |
| $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\dots \\ [4] &\dots \end{array}$ | $\begin{array}{lcl} a & = & \dots \\ c & = & \dots \end{array}$ |
Erbebnis: $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \dots$
(d) Bestimme analog die Umkehrabbildungen zu folgenden linearen Abbildungen:
$\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -0.5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
$\gamma: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
$\delta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Aufgabe 4
Betrachte noch einmal die folgende lineare Abbildung mit ihrer zu bestimmenden Umkehrabbildung:
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
(a) Welche Schwierigkeit tritt hier bei der Bestimmung der Umkehrabbildung auf?
| Bedingungen | Vektorgleichungen | Koordinatengleichungen | Lösungen |
|---|---|---|---|
| $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\dots \\ [2] &\dots \end{array}$ | $\begin{array}{lcl} b & = & \dots \\ d & = & \dots \end{array}$ |
| $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 24 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\dots \\ [4] &\dots \end{array}$ | $\begin{array}{lcl} a & = & \dots \\ c & = & \dots \end{array}$ |
(b) Welche Schwierigkeit tritt hier bei der Bestimmung der Umkehrabbildung auf?
| Bedingungen | Vektorgleichungen | Koordinatengleichungen | Lösungen |
|---|---|---|---|
| $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\dots \\ [2] &\dots \end{array}$ | $\begin{array}{lcl} b & = & \dots \\ d & = & \dots \end{array}$ |
| $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\dots \\ [4] &\dots \end{array}$ | $\begin{array}{lcl} a & = & \dots \\ c & = & \dots \end{array}$ |
(c) Warum ist es günstig, bei der Bestimmung der Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ von folgenden Zuordnungen (oder entsprechenden Vielfachen) auszugehen:
$\alpha: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\alpha: \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
Aufgabe 5
(a) Überprüfe mit Hilfe der Determinante, ob die folgenden Abbildungen umkehrbar sind.
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
$\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
$\gamma: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
$\delta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$
(b) Bestimme (falls möglich) die Umkehrabbildungen zu den Abbildungen in (a). Benutze eine Formel für die inverse Matrix einer vorgegebenen $2 \times 2$-Matrix.
Aufgabe 6
In einem Grafikprogramm wurden nacheinander die Abbildungen in der Übersicht durchgeführt. Das Ergebnis der Abbildungen ist unten im Applet zu sehen. Da es der Bernutzerin / dem Benutzer nicht gefällt, soll der gesamte Prozess rückgängig gemacht werden. Nutze hierfür die passenden Umkehrabbildungen.
| Schritte | Abbildungen |
|---|---|
| Schritt 1 | $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ |
| Schritt 2 | $\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$ |
| Schritt 3 | $\gamma: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ |
| Schritt 4 | $\delta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ |
| Schritt 5 | $\epsilon: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$ |
Ergebnis der Abbildungen:
Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_3.ggb
