Zusammenfassung - Geradengleichung
Die Grundidee
Eine Gerade (in der 2D-Ebene bzw. im 3D-Raum) ist eine Menge von Punkten, die in einer ganz bestimmten Weise angeordnet sind. Die Gesamtheit dieser Punkte kann man mit Hilfe von zwei Vektoren beschreiben:
- einem Stützvektor, der vom Koordinatenursprung zu einem Punkt der Geraden führt und
- einem Richtungsvektor, der die Richtung der Geraden festlegt.
Zum Herunterladen: geradengleichung1.ggb
Im Applet ist $\vec{p} = \overrightarrow{ OP }$ ein Stützvektor zur Geraden $g$ und $\vec{u}$ ein Richtungsvektor zur Geraden $g$.
Wenn der Parameter $t$ die reellen Zahlen durchläuft, dann erhält man sämtliche Punkte $X$ der Geraden $g$. Der Punkt $X$ zum Parameter $t$ ist der Punkt zum Ortsvektor $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$. Man bewegt sich also vom Koordinatenursprung $O$ mit $\vec{p}$ erst zum Stützpunkt $P$ der Geraden und anschließend ein Vielfaches des Richtungsvektors $t \cdot \vec{u}$ zum Punkt $X$ der Geraden.
Eine Präzisierung
Der gefundene mathematische Zusammenhang wird durch den folgenden Satz präzisiert:
Vektorielle Geradengleichung
Gegeben sind ein Stützvektor $\vec{p} = \overrightarrow{ OP }$, der zu einem Punkt $P$ einer Geraden $g$ führt, und ein Richtungsvektor $\vec{u}$ zur Geraden $g$. Dann gilt:
(1) Für jede reelle Zahl $t$ liegt der Punkt $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ auf der Geraden $g$. $\vec{x}$ ist hierbei der Ortsvektor $\overrightarrow{ OX }$.
(2) Ist $X$ ein Punkt der Geraden $g$, so gibt es eine reelle Zahl $t$, so dass für $\vec{x} = \overrightarrow{ OX }$ gilt: $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$.
Wir benutzen die folgende Kurzschreibweise und nennen eine solche Darstellung Geradengleichung in Parameterform:
Eine Gerade wird beschrieben durch die Gleichung:
$g$: $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Eine vektorielle Beschreibung von Geraden kann man auch so formulieren:
Vektorielle Geradengleichung
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt auf der Geraden $g$ mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$
genau dann, wenn
es eine reelle Zahlen $t$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ gilt.
Beispiel einer Geradenbeschreibung
Betrachte eine Gerade mit dem Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ dargestellt. Man erhält dann folgende Geradengleichung:
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$
Beachte, dass man den Parameter auch anders benennen kann. Die Gerade $g$ im Beispiel lässt sich genauso mit einem anders benannten Parameter (z.B. $r$) beschreiben.
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$
Durch Variation des Parameters erhält man alle Punkte der Geraden. Beachte: Im Applet ist mit dem Schieberegler nur ein eingegrenzter Bereich der reellen Zahlen einstellbar.
Zum Herunterladen: geradengleichung2.ggb
Variation der Geradengleichung
Eine Gerade $g$ kann durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben werden. Bei der Wahl der beiden Vektoren gibt es Spielräume:
- Der Stützvektor kann ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Gerade sein. Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Stützvektors.
- Es gibt auch unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Richtungsvektorvektors. Der Vektor muss nur „entlang der Geraden“ liegen. Nicht erlaubt ist der Nullvektor, da er keine Richtung festlegt.
Die folgende Übersicht zeigt anhand von Beispielen, wie sich die Parameterwerte zu vorgegebenen Punkten ändern, wenn man die Geradengleichung variiert.
| Geradengleichung | Darstellung der Punkte $(2|2.5)$, $(0|1.5)$, $(-3|0)$ |
|---|---|
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = 2: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = 0: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = -3: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + (-3) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = 1: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = 0: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = -1.5: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} + (-1.5) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0.5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = 4: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0.5 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = 2: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0.5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = -1: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0.5 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
| $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -0.5 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ | $\begin{array}{lll} t = -1: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \\ t = 1: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \\ t = 4: & \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -0.5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ |
