Erarbeitung - Rasterdeutung
Zur Orientierung
Ziel ist es, ein vertiefteres Verständnis über lineare und affine Abbildungen zu entwickeln. Hierzu untersuchen wir eine geometrische Deutung der zentralen Bestandteile solcher Abbildungen.
Problem:
Geg.: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$
Ges.: Deutung der Parameter $a$, $b$, $c$, $d$ sowie $v_1$ und $v_2$
Affine Abbildungen geometrisch deuten
Als exemplarisches Beispiel betrachten wir die folgende affine Abbildung:
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsvektoren1.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte die Punkte $O(0|0)$, $E_1(1|0)$ und $E_2(0|1)$, die das Koordinatensystem aufspannen. Bestimme die zugehörigen Bildpunkte bei der vorgegebenen affinen Abbildung.
$\begin{array}{lclcl} O \rightarrow O' & : & \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ E_1 \rightarrow E_1' & : & \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ E_2 \rightarrow E_2' & : &\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \end{array}$
(b) Bestimme auch die folgenden Vektoren. Vergleiche sie mit der gegebenen Abbildungsgleichung der affinen Abbildung. Was fällt auf?
$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{ OO' } & = & \\ \overrightarrow{ O'E_1' } & = & \\ \overrightarrow{ O'E_2' } & = & \end{array}$
(c)
Variiere im Applet die Parameter der affinen Abbildung. Beobachte, wie dabei die Einheitsvektoren
$\overrightarrow{ OE_1 }$ und $\overrightarrow{ OE_2 }$ auf
$\overrightarrow{ O'E_1' }$ und $\overrightarrow{ O'E_2' }$ abgebildet werden.
(d) Fasse das Ergebnis zusammen. Ergänze hierzu den folgenden Satz.
Geometrische Deutung einer affinen Abbildung
Betrachte eine affine Abbildung:
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
(a) Deutung des Verschiebevektors:
Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ beschreibt ...
(a) Deutung der Abbildungsmatrix:
Die Spaltenvektoren $\vec{a}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}$ und $\vec{a}_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix}$ der Abbildungsmatrix $A$ beschreiben, ...
Aufgabe 2
Im Applet wird die betrachtete affine Abbildung auf einen Punkt $P$ angewandt.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_raster.ggb
(a) Blende das blaue Raster ein und lies die Koordinaten von $P$ ab.
(b) Berechne mit der affinen Abbildung die Koordinaten des Bildpunktes $P'$. Kontrolliere das Ergebnis im blauen Raster.
(c) Begründe (mit Aufgabe 1) folgende Deutungen der Parameter der affinen Abbildung.
$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{ OO' } & = & \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{ O'E_1' } & = & \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{ O'E_2' } & = & \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{array}$
(d) Verdeutliche im blauen Raster:
$\overrightarrow{ OP } = (-2) \cdot \overrightarrow{ OE_1 } + 3 \cdot \overrightarrow{ OE_2 }$
Blende das rote Raster ein. Zeige, dass folgende analoge Gleichung gilt.
$\overrightarrow{ O'P' } = (-2) \cdot \overrightarrow{ O'E_1' } + 3 \cdot \overrightarrow{ O'E_2' }$
(e) Verdeutliche folgende Aussage mit Hilfe der vorangehenden Ergebnisse.
Rasterdeutung einer affinen Abbildung
Die Punkte $(O, E_1, E_2)$ erzeugen das zum Koordinatensystem gehörende Ausgangsraster. Die Koordinaten eines Punktes $P$ werden in diesem Raster gebildet.
Eine affine Abbildung erzeugt ein Bildraster, das mit den Punkten $(O', E_1', E_2')$ gebildet wird. Der Bildpunkt $P'$ liegt im Bildraster an derselben Position, in der der Ausgangspunkt $P$ im Ausgangsraster liegt. Im Bildraster hat $P'$ demnach dieselben Koordinaten wie $P$ im Ausgangsraster. Kurz:
Wenn $\overrightarrow{ OP } = p_1 \cdot \overrightarrow{ OE_1 } + p_2 \cdot \overrightarrow{ OE_2 }$, dann gilt $\overrightarrow{ O'P' } = p_1 \cdot \overrightarrow{ O'E_1' } + p_2 \cdot \overrightarrow{ O'E_2' }$.
