Zusammenfassung - Geometrische Deutung von Vektoren
Die Grundidee
Die Verwendung von Vektoren in der Geometrie lässt sich anhand des folgenden Applets verdeutlichen.
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Vektoren (als Zahlentupel) kann man in der Geometrie verwenden, wenn ein Koordinatensystem eingeführt ist: Mit Vektoren kann man Bewegungen bzw. Verschiebungen (in der 2D-Ebene bzw. im 3D-Raum) beschreiben. Mit Vektoren kann man zudem Positionen bzw. Punkte (in der 2D-Ebene bzw. im 3D-Raum) darstellen.
Wir führen das im Folgenden genauer aus und führen dabei auch übliche Bezeichnungen und Schreibweisen ein.
Verschiebungen mit Vektoren darstellen
Einen Vektor wie z.B. $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ kann man als
Beschreibung einer Verschiebung (in der Ebene) deuten: $5$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach oben
.
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Veranschaulichen lässt sich eine Verschiebung mit Hilfe von Vektorpfeilen. Man zeichnet hierzu Pfeile von Ausgangspunkten zu den zugehörigen Bildpunkten der betrachteten Verschiebung. Die Pfeildarstellung spiegelt sich auch in der folgenden Schreibweise wider:
Den Verschiebevektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ kann man auch mit $\overrightarrow{ AA' } = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{ BB' } = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ oder $\overrightarrow{ CC' } = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ beschreiben.
Geometrische Deutung von Vektoren
Jeder (2-dimensionale) Vektor kann als Verschiebung (in der Ebene) gedeutet werden. Die Verschiebung kann man mit unendlich vielen Pfeilen geometrisch verdeutlichen, die alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind.Punkte mit Vektoren darstellen
Aus der Sekundarstufe kennst du die Darstellung von Punkten mit Hilfe von Koordinaten in der Form $P(4|3)$. Hier werden Zahlen benutzt, um die Position eines Punktes $P$ im Koordinatensystem zu beschreiben.
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Wir verwenden im Folgenden auch eine vektorielle Darstellung von Punkten – d.h. wir beschreiben sie mit Hilfe von Zahlentupeln. So wird im Applet oben der Punkt $P(4|3)$ zusätzlich mit dem Vektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ vektoriell beschrieben. Beide Schreibweisen – die Punktschreibweise $P(4|3)$ und die Vektorschreibweise $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ - beschreiben denselben Sachverhalt; nämlich die Position eines Punktes im Koordinatensystem.
Wenn man einen Punkt $P$ mit dem Vektor $\vec{p}$ beschreibt, dann lässt sich dieser Vektor mit einem Pfeil vom Koordinatenursprung $O$ zum Punkt $P$ veranschaulichen und in der Form $\overrightarrow{ OP }$ schreiben. Man nennt einen solchen Vektor $\overrightarrow{ OP }$ vom Koordinatenursprung $O$ zum Punkt $P$ auch Ortsvektor, weil er die Lage eines Punktes im Koordinatensystem beschreibt. Der Ortsvektor $\overrightarrow{ OP }$ zum Punkt $P$ wird meist mit $\vec{p}$ bezeichnet. Man verwendet also den entsprechenden Kleinbuchstaben.
Darstellung von Punkten von Vektoren
Man kann jeden Punkt (der 2-dimensionalen Ebene) mit einem (2-dimensionalen) Vektor beschreiben. Die Komponenten des Vektors werden als Koordinaten des Punktes gedeutet und legen so die Position des zugehörigen Punktes im Koordinatensystem fest. Man deutet den Vektor somit als Ortsvektors. Zur Veranschaulichung verwendet man einen Pfeil vom Koordinatenursprung zum betrachteten Punkt.Warum führt man eine neue Schreibweise für Punkte ein? Der Vorteil der Vektorschreibweise besteht darin, dass man bei dieser Schreibweise alle für Vektoren eingeführten Operationen verwenden kann.
Verschiebungen rechnerisch durchführen
Im Applet oben wird beispielhaft die folgende Bewegung angezeigt.
$\underbrace{\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{Ausgangsposition}} \overbrace{\stackrel{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}}{\longrightarrow}}^{\text{Verschiebung}} \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}}_{\text{Endposition}}$
Am Beispiel sieht man direkt folgende Zusammenhänge:
Verschiebungen rechnerisch durchführen
(a) Endpositionsvektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und der Verschiebevektor
$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ gegeben sind, dann erhält man den zugehörigen
Endpositionsvektor $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ wie folgt:
$\underbrace{\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}}_{B} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}}_{A} + \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\overrightarrow{AB}} = \begin{pmatrix} a_1+v_1 \\ a_2+v_2 \end{pmatrix}$
(b) Verschiebevektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und der Endpositionsvektor
$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ gegeben sind, dann erhält man den zugehörigen Verschiebevektor
$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ wie folgt:
$\underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\overrightarrow{AB}} = \underbrace{\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}}_{B} - \underbrace{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}}_{A} = \begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}$
Vektoroperationen geometrisch deuten
Die geometrische Deutung von Vektoroperationen wird in der folgenden Übersicht anhand von Beispielen erläutert. In den Applets kann man die markierten Punkte bewegen und so die Beispiele variieren.
| Rechenoperation | algebraische Durchführung | geometrische Deutung |
|---|---|---|
| Vektoren addieren | Zwei Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$ addiert man, indem man die einzelne Komponenten addiert: $\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_addieren.ggb Geometrisch bedeutet das Addieren von zwei Vektoren, dass deren Pfeile zu einem Gesamtpfeil (resultierender Vektor, Summenvektor) zusammengefügt werden, der den direkten Weg angibt: |
| Vektoren invertieren |
Man erhält den Gegenvektor $-\vec{a}$ zu einem Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$
(so dass beide addiert den Nullvektor ergeben),
indem man die Gegenzahlen der einzelnen Komponenten bildet: $-\vec{a}=-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a_1\\-a_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_invertieren.ggb Geometrisch wird der Gegenvektor eines Vektors gebildet, indem man die Pfeile umkehrt. |
| Vektoren subtrahieren | Zwei Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$ subtrahiert man, indem man die einzelne Komponenten subtrahiert: $\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_subtrahieren.ggb Geometrisch bedeutet das Subtrahieren von zwei Vektoren, dass man Pfeile vom Endpunkt von $\vec{b}$ zum Endpunkt von $\vec{a}$ bildet. |
| Vektoren skalar multiplizieren |
Ein Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ wird mit einer reellen Zahl $t$ multipliziert,
indem man die einzelne Komponenten mit $t$ multipliziert: $t \cdot \vec{a}= t \cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t \cdot a_1\\t \cdot a_2\end{pmatrix}$ |
Zum Herunterladen: vektoren_skalar_multiplizieren.ggb Geometrisch bedeutet die skalare Multiplikation einer Zahl $t$ mit dem Vektoren $\vec{a}$, dass die Pfeile zum Vektor $\vec{a}$ mit dem Faktor $t$ verlängert bzw. verkürzt werden. Wenn $t$ negativ ist, wird zudem die Orientierung umgekehrt. |
