Vertiefung

Ein Beispiel betrachten

Die Gerade $x = 2$ ist die Menge aller Punkte mit $x$-Koordinate $2$ – also die Parallele zur $y$-Achse, die durch $(2|0)$ verläuft. Entsprechend ist die Gerade $x = 5$ die Parallele zur $y$-Achse, die durch $(5|0)$ verläuft.

Aufgabe 1

Führe die Verkettungen $\beta \circ \alpha$ und $\alpha \circ \beta$ per Hand mit einer selbst gewählten Figur durch. Stelle Vermutungen darüber auf, was die Abbildungen $\beta \circ \alpha$ und die $\alpha \circ \beta$ leisten.

Aufgabe 2

In der folgenden Übersicht wird die Abbildung $\beta \circ \alpha$: Spiegelung an der Geraden $x = 5$ nach Spiegelung an der Geraden $x = 2$ verdeutlicht.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2
Spiegelung an der Geraden $x = 2$	Spiegelung an der Geraden $x = 5$
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$	$\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}$

(a) Zeige, dass die Abbildung $\beta \circ \alpha$ so beschrieben werden kann:

$\beta \circ \alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$

Hilfe

Es gilt:

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\right] + \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}$

Hilfe

Durch Umformen erhält man:

$\begin{array}{l} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\right] + \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} = \dots \end{array}$

(b) Begründe: Die Abbildung $\beta \circ \alpha$ entspricht einer Verschiebung um $6$ Einheiten in $x$-Richtung.

Aufgabe 3

Betrachte die Verkettung $\alpha \circ \beta$: Spiegelung an der Geraden $x = 2$ nach Spiegelung an der Geraden $x = 5$. Kläre folgende Frage: Entspricht diese Abbildung ebenfalls einer Verschiebung?

Ergebnisse verallgemeinern

Aufgabe 4

Betrachte die Verkettung $\beta \circ \alpha$ von zwei affinen Abbildungen $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ und $\beta: \vec{x}' = B \cdot \vec{x} + \vec{w}$.

(a) Ergänze die algebraische Beschreibung von $\beta \circ \alpha$:

$\beta \circ \alpha: \vec{x}' = \dots$

(b) Ist die Verkettung $\beta \circ \alpha$ ebenfalls eine affine Abbildung? Begründe.

Aufgabe 5

Schaue dir nochmal das Beispiel oben an. Darf man die Reihenfolge bei der Verkettung von affinen Abbildungen vertauschen bzw. gilt $\beta \circ \alpha = \alpha \circ \beta$ bei beliebigen affinen Abbildungen?

Aufgabe 6

Sichere deine Ergebnisse.

Beachte: Die Verkettung von (affinen) Abbildungen ist nicht kommutativ.