Zusammenfassung - Abbildung paralleler Geraden
Parallelentreue
Bei einer affinen Abbildung werden parallele Geraden (bzw. Seiten) immer auf parallele Geraden (bzw. Seiten) abgebildet, sofern bei der Abbildung Geraden entstehen. Das sieht man im folgenden Applet, wenn man mehrere affine Abbildungen hintereinander ausführt.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_2.ggb
Parallele Geraden
Zur Begründung dieses Zusammenhangs muss erst geklärt werden, wie sich die Parallelität von zwei Geraden in den Geradengleichungen widerspiegelt.
Zum Herunterladen: parallelegeraden.ggb
Experimente mit dem Applet zeigen:
Parallelität bei Geraden
Zwei Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{w}$ sind parallel genau dann, wenn ihre Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{w}$ Vielfache voneinander sind; d.h. wenn es eine reelle Zahl $s$ gibt, so dass $\vec{w} = s \cdot \vec{u}$ gilt.
Parallelentreue bei affinen Abbildungen
Mit diesem Ergebnis lässt sich die Parallelentreue von affinen Abbildung direkt herleiten. In der Übersicht sind hierzu Daten zur Abbildung von zwei Geraden $g$ und $h$ ganz allgemein vorgegeben. Wir setzen voraus, dass die Abbildungsmatrix $A$ der affinen Abbildung umkehrbar ist.
| Ausgangsgerade | affine Abbildung | Bildgerade |
|---|---|---|
| $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ | $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ | $g': \vec{x}' = \left[A \cdot \vec{p} + \vec{v}\right] + t \cdot \left[A \cdot \vec{u}\right]$ |
| $h: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{w}$ | $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ | $h': \vec{x}' = \left[A \cdot \vec{q} + \vec{v}\right] + r \cdot \left[A \cdot \vec{w}\right]$ |
Es gilt:
Wenn $\vec{w} = s \cdot \vec{u}$ mit einer rellen Zahl $s$ gilt (d.h.: $\vec{w}$ ist ein Vielfaches von $\vec{u}$), dann gilt $A \cdot \vec{w} = A \cdot s \cdot \vec{u} = s \cdot A \cdot \vec{u}$ (d.h.: $A \cdot \vec{w}$ ist dann auch Vielfaches von $A \cdot \vec{u}$).
Man erhält hieraus direkt den folgenden Satz.
Parallelentreue bei affinen Abbildungen
Für jede affine Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ mit umkehrbarer Abbildungsmatrix $A$ gilt:
Wenn die beiden Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{w}$ parallel sind,
dann sind die zugehörigen Bildgeraden $g': \vec{x}' = \left[A \cdot \vec{p} + \vec{v}\right] + t \cdot \left[A \cdot \vec{u}\right]$
und $h': \vec{x}' = \left[A \cdot \vec{q} + \vec{v}\right] + r \cdot \left[A \cdot \vec{w}\right]$ ebenfalls parallel.
