Zusammenfassung - Fixgeraden bei affinen Abbildungen
Das Fixgeradenkonzept
Im Applet wird eine Abbildung verdeutlicht, die eine Gerade auf sich selbst abbildet.
Zum Herunterladen: fixgerade1.ggb
Wir führen einen Begriff für solche Geraden ein.
Fixgerade einer geometrischen Abbildung
Eine Gerade $g$ ist eine Fixgerade einer geometrischen Abbildung $\alpha$ genau dann, wenn die Gerade durch $\alpha$ auf sich selbst abgebildet wird.
Beachte den Unterschied zwischen den Konzepten Fixgerade und Fixpunktgerade:
- Eine Fixpunktgerade ist immer auch eine Fixgerade. Jeder Punkt einer Fixpunktgerade ist ein Fixpunkt und wird daher auf sich selbst abgebildet. Damit wird die Fixpunktgerade natürlich auch auf sich selbst abgebildet.
- Eine Fixgerade ist in der Regel keine Fixpunktgerade. Im Applet oben ist die gezeigte Gerade eine Fixgerade, aber keine Fixpunktgerade. Eine Fixgerade kann Fixpunkte enthalten, muss aber nicht.
Ursprungsgeraden als Fixgeraden bei linearen Abbildungen
Wir betrachten zunächst den Spezialfall, dass die Abbildung eine lineare Abbildung ist und dass die Fixgerade eine Ursprungsgerade ist.
Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene lineare Abbildung. Gibt es Ursprungsgeraden, die Fixgeraden dieser Abbildung sind? Wie kann man sie ggf. rechnerisch bestimmen? Diese Fragen werden im Folgenden geklärt.
Zum Herunterladen: fixgerade2.ggb
Betrachte die im Applet voreingestellte lineare Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.
Im Applet kann man die Ursprungsgeraden als Fixgeraden experimentell bestimmen. Wenn man den Punkt $P$ im Ursprung belässt, dann muss man den Punkt $Q$ in eine Position bringen, so dass $\vec{u}\;' = \lambda \cdot \vec{u}$ mit $\lambda \neq 0$ gilt. Man erhält so folgende Fixgeraden:
-
$g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$);
$g$ erhält man, indem man den Punkt $P$ im Koordinatenursprung lässt und $Q$ z.B. an die Position $(2|1)$ bringt. -
$h: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$);
$h$ erhält man, indem man den Punkt $P$ im Koordinatenursprung lässt und $Q$ z.B. an die Position $(1|-1)$ bringt.
Betrachte jetzt eine beliebige lineare Abbildung $\alpha$ mit $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$.
Es gelten folgenden Aussagen:
- Eine Ursprungsgerade $g$ lässt sich in der Form $g: \vec{x} = t \cdot \vec{u}$ mit einem Richtungsvektor $\vec{u} \neq \vec{0}$ darstellen.
- Für $\vec{x} = t \cdot \vec{u}$ gilt $\vec{x}' = A \cdot (t \cdot \vec{u}) = t \cdot (A \cdot \vec{u})$.
- $\alpha(g): \vec{x}' = t \cdot (A \cdot \vec{u})$ ist eine Ursprungsgerade, falls $A \cdot \vec{u} \neq \vec{0}$ gilt.
- $A \cdot \vec{u}$ und $\vec{u}$ beschreiben dieselbe Richtung, wenn $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$ mit einer reellen Zahl $\lambda \neq 0$ gilt bzw. wenn $\vec{u}$ ein Eigenvektor von $A$ ist mit einem Eigenwert $\lambda \neq 0$.
Mit den vorangehenden Überlegungen erhält man das folgende Ergebnis:
Fixgeraden einer linearen Abbildung
Eine Ursprungsgerade $g: \vec{x} = t \cdot \vec{u}$ ($t \in \mathbb{R}$) ist Fixgerade der linearen Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$ genau dann, wenn $\vec{u}$ ein Eigenvektor von $A$ ist mit einem Eigenwert $\lambda \neq 0$.
Beispiel
Betrachte noch einmal die im Applet voreingestellte lineare Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.
Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: $\lambda_1 = 2; \lambda_2 = -1$
Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:
$\begin{array}{llll}
\lambda_1 = 2 & : & \vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \\
\lambda_2 = -1 & : & \vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0
\end{array}$
Fixgeraden von $\alpha$:
$g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$)
Fixgeraden bei affinen Abbildungen
Wir betrachten jetzt den allgemeinen Fall, dass die Abbildung eine affine Abbildung ist und dass die Fixgerade eine beliebige Gerade sein kann. Betrachte hierzu die im Applet voreingestellte affine Abbildung $\alpha$. Es handelt sich bei dieser Abbildung um eine Verschiebung.
Zum Herunterladen: fixgerade4a.ggb
Die Bedingung $\vec{u}\;' = \lambda \cdot \vec{u}$ mit $\lambda \neq 0$ reicht nicht aus, um zu schließen, dass die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist. Damit (im Applet) die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist, muss die zusätzliche Bedingung $\overrightarrow{ PP' } = k \cdot \vec{u}$ (mit einer reellen Zahl $k$) erfüllt sein. Der Punkt $P'$ liegt dann auf der Geraden durch $P$ und $Q$.
Bei der die vorgegebenen affine Abbildung gibt es unendlich viele Fixgeraden. Man kann $P$ zunächst an eine beliebige Position setzen. Da die Bedingung $\vec{u}\;' = \lambda \cdot \vec{u}$ (hier mit $\lambda = 1$) immer erfüllt ist, muss man nur für $Q$ eine Position finden, so dass $\overrightarrow{ PP' } = k \cdot \vec{u}$ (mit einer reellen Zahl $k$) gilt.
Im folgenden Satz werden die bisherigen Überlegungen verallgemeinernd zusammengefasst.
Fixgeraden einer affinen Abbildung
Eine Gerade $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ ($t \in \mathbb{R}$) ist Fixgerade der affinen Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ genau dann, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
-
$\underbrace{\vec{u}\;'}_{A \cdot \vec{u}}$ beschreibt dieselbe Richtung wie $\vec{u}$ bzw.
$\vec{u}$ ist ein Eigenvektor von $A$ mit einem Eigenwert $\lambda \neq 0$. -
$P'$ liegt auf der Geraden $g$ bzw.
$\underbrace{\overrightarrow{ PP' }}_{(A \cdot \vec{p} + \vec{v}) - \vec{p}} = k \cdot \vec{u}$ mit einer reellen Zahl $k$.
Beispiel
Als komplizierteres Beispiel betrachten wir die experimentelle Bestimmung von Fixgeraden im nächsten Applet. Hier ist die affine Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & -1 \\ -2 & 1.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ vorgegeben.
Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 0.5 & -1 \\ -2 & 1.5 \end{pmatrix}$: $\lambda_1 = -0.5; \lambda_2 = 2.5$
Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 0.5 & -1 \\ -2 & 1.5 \end{pmatrix}$:
$\begin{array}{llll}
\lambda_1 = -0.5 & : & \vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \\
\lambda_2 = 2.5 & : & \vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0
\end{array}$
Im Applet wird die affine Abbildung verdeutlicht.
Zum Herunterladen: fixgerade4b.ggb
Der Punkt $P$ liegt bereits an einer günstigen Position. Der Vektor $\overrightarrow{ PP' }$ ist ein Vielfaches vom Eigenvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Hier muss man $Q$ an eine Position bringen (z.B. $Q(4|4)$), so dass $\vec{u}$ und $\vec{u}\:'$ Vielfache voneinander sind.
Eine weitere Fixgerade erhält man, indem man $P$ so hin und her bewegt, bis $\overrightarrow{ PP' }$ ist ein Vielfaches vom Eigenvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ist. Das ist z.B. für $P(1|0)$ der Fall. Jetzt muss man $Q$ an eine Position bringen (z.B. $Q(0|2)$), so dass $\vec{u}$ und $\vec{u}\:'$ Vielfache voneinander sind.
