Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es darum, das Umkehren von linearen Abbildungen algebraisch durchzuführen.
Ein Beispiel analysieren
Wir starten mit dem Beispiel aus dem Erkundungskapitel.
| Abbildung | Umkehrabbildung |
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Zuordnungsbeispiele: $\alpha: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 8 \\ 16 \end{pmatrix}$ $\alpha: \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -16 \\ 8 \end{pmatrix}$ |
Zuordnungsbeispiele: $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 8 \\ 16 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} -16 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$ |
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Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ |
Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ |
Im Erkundungskapitel wurde im Beispiel oben die Umkehrabbildung ausgehend von den gezeigten Zuordnungsbeispiele (zur Umkehrabbildung) bestimmt. Wir schauen uns jetzt die erzielte Matrix $B = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix}$ genauer an. Hierzu benötigen wir das Konzept der inversen Matrix.
Wiederholung
Die inverse Matrix $A^{-1}$ zu einer Matrix $A$ ist die Matrix mit $A^{-1} \cdot A = E$ und $A \cdot A^{-1} = E$. Das Produkt aus der Matrix $A$ und der zugehörigen inversen Matrix $A^{-1}$ ergibt die (zur Dimension passende) Einheitsmatrix $E$.
Aufgabe 1
(a) Zeige, dass die Matrix $B = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix}$ die inverse Matrix zur Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ist. Berechne hierzu das folgende Matrixprodukt:
$\underbrace{\begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix}}_{B} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}_{A} = \dots$
(b) Zeige mit Hilfe von (a), dass die Abbildung $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ die Umkehrabbildung zur Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ ist. Ergänze hierzu die fehlenden Berechnungen.
$\alpha^{-1} \circ \alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right] = \dots$
Überlegungen verallgemeinern
Die am Beispiel exemplarisch durchgeführten Überlegungen lassen sich wie folgt verallgemeinern.
Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
(a) Wenn die lineare Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$ umkehrbar ist, dann ist die Matrix $A$ invertierbar und es gilt:
$\alpha^{-1}: \vec{x}' = A^{-1} \cdot \vec{x}$
(b) Wenn die Matrix $A$ invertierbar ist, dann ist die lineare Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$ umkehrbar und es gilt:
$\alpha^{-1}: \vec{x}' = A^{-1} \cdot \vec{x}$
(c) Die Umkehrabbildung einer umkehrbaren linearen Abbildung ist ebenfalls eine lineare Abbildung.
Aufgabe 2
Verdeutliche anhand des folgenden Beispiels: Wenn man inverse Matrizen bestimmen kann, dann kann man auch Umkehrabbildungen von linearen Abbildungen bestimmen.
(a) Zeige, dass die Matrix $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ die inverse Matrix zur Matrix $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ ist.
(b) Bestimme die Umkehrabbildung zur linearen Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.
