Einstieg - Fachbegriffe
Zur Orientierung
In den letzten Kapiteln wurden in einem ersten Schritt bekannte geometrische Abbildungen algebraisch beschrieben. In einem zweiten Schritt wurden algebraische Beschreibungsmuster benutzt, um weitere geometrische Abbildungen zu erzeugen. Wir greifen hier wiederholend die bereits verwendeten algebraischen Beschreibungsmuster auf. In den weiteren Abschnitten geht es dann um eine vertiefende geometrische Deutung der Bestandteile dieser Muster.
Lineare Abbildungen
Das Konzept der linearen Abbildungen wurde bereits im Kapitel Standardabbildungen - algebraisch betrachtet eingeführt. Hier noch einmal die zugehörige Begriffsdefinition.
Eine Abbildung $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ heißt lineare Abbildung, wenn es eine Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ gibt mit:
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Den Bildpunkt $X'(x_1'|x_2')$ zu einem Ausgangspunkt $X(x_1|x_2)$ erhält man mit Hilfe linearer Gleichungen:
$\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ x_2' & = & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{array}$
Zu den linearen Abbildungen zählen Spiegelungen an den Koordinatenachsen, Drehungen um den Ursprung und Streckungen mit dem Ursprung als Streckzentrum. Es gibt zahlreiche weitere lineare Abbildungen wie z.B. Scherungen, die geometrisch betrachtet von Interesse sind.
Beispiel: Scherung in $x$-Richtung
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Zum Herunterladen: lineareabbildungen_scherung.ggb
Affine Abbildungen
Nicht zu den linearen Abbildungen gehören die Verschiebungen (mit einem vom Nullvektor verschiedenen Verschiebungsvektor). Es gibt weitere geometrische Abbildungen von Interesse, die nicht zu den linearen Abbildungen gehören – wie z.B. Schubspiegelungen.
Beispiel: Schubspiegelung entlang der $x$-Achse
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
Zum Herunterladen: affineabbildungen_schubspiegelung.ggb
Die Schubspiegelung im Beispiel ist eine Kombination aus einer linearen Abbildung mit einer Verschiebung. Für solche Kombinationen aus linearen Abbildungen mit Verschiebungen führen wir ebenfalls einen Begriff ein.
Affine Abbildung
Eine Abbildung $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ heißt affine Abbildung (in der 2D-Ebene), wenn es eine Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ und einen Verschiebevektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ gibt mit:
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
Den Bildpunkt $X'(x_1'|x_2')$ zu einem Ausgangspunkt $X(x_1|x_2)$ erhält man mit Hilfe der Koordinatengleichungen:
$\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + v_1\\ x_2' & = & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + v_2 \end{array}$
Aufgabe 1
(a) Begründe, dass jede lineare Abbildung auch eine affine Abbildung ist.
(b) Begründe, dass die Schubspiegelung im Beispiel oben keine lineare Abbildung ist. Betrachte hierzu die Abbildung des Koordinatenursprungs.
Zielsetzung
Zentraler Baustein von linearen und affinen Abbildungen ist die Abbildungsmatrix. Bei affinen Abbildungen kommt der Verschiebevektor als weiterer Baustein noch hinzu. In den folgenden Abschnitten geht es darum, diese Bausteine genauer zu untersuchen und geometrisch zu deuten.
