Einstieg
Abbildungen verketten
Ausgangspunkt ist hier das folgende im letzten Kapitel hergeleitete Ergebnis: Eine Drehung um $90°$ um das Drehzentrum $(-4|5)$ kann man durchführen, indem man $3$ Teilabbildungen hintereinander ausgeführt bzw. verkettet. Zur Wiederholung sind die Ergebnisse hier noch einmal zusammengestellt.
| Teilabbildung 1 | Teilabbildung 2 | Teilabbildung 3 |
|---|---|---|
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| Verschiebung um $4$ nach rechts und $5$ nach unten | Drehung um $90°$ um den Ursprung | Verschiebung um $4$ nach links und $5$ nach oben |
| $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix}$ | $\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ | $\gamma: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}$ |
In der Übersicht sind die Teilabbildungen zur Durchführung der Drehung mit ihren algebraischen Beschreibungen aufgeführt. Beachte, dass wir hier die Bezeichnung $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ als Abkürzungen für die Teilabbildungen verwenden.
Die Verkettung der Teilabbildungen lässt sich jetzt algebraisch so ausführen:
| Verkettung der Teilabbildungen – am Beispiel | Verkettung der Teilabbildungen – allgemein |
|---|---|
| $\begin{array}{c} \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \\ \downarrow \alpha\\ \\ \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \\ \downarrow \beta \\ \\ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} \\ \\ \downarrow \gamma\\ \\ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \right] + \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{array}$ | $\begin{array}{c} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ \\ \downarrow \alpha\\ \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \\ \\ \downarrow \beta \\ \\ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \right] \\ \\ \downarrow \gamma\\ \\ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \right] + \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{array}$ |
Aufgabe 1
Erläutere die Herleitungen in der Übersicht.
Eine Schreibweise für die Verkettung von Abbildungen einführen
Die Verkettung von $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bildet den Ausgangsvektor $\begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix}$ auf den Bildvektor $\begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$ ab:
$\begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$
Wenn man die übliche Klammerschreibweise für Abbildungen verwendet, dann kann man das auch so schreiben:
$\gamma \left( \beta \left( \alpha \left( \; \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix} \; \right) \right) \right) = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$
Es wird also $\gamma$ nach $\beta$ nach $\alpha$ ausgeführt.
Die Gesamtabbildung $\gamma$ nach $\beta$ nach $\alpha$
beschreibt man in der Form $\gamma \circ \beta \circ \alpha$.
Es gilt also:
$\begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix} \stackrel{\gamma \circ \beta \circ \alpha}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$
Aus der Übersicht oben entnimmt man, dass man die Abbildung $\gamma \circ \beta \circ \alpha$ algebraisch so beschreiben kann:
$\gamma \circ \beta \circ \alpha : \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \right] + \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}$
Wir legen die im Beispiel bereits verwendeten Begriffe und Symbole jetzt präzise fest.
Verkettung von Abbildungen
Die Verkettung von zwei geometrischen Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ beschreibt das Hintereinanderausführen der beiden Abbildungen. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
erst $\alpha$ dann $\beta$
bzw. $\beta$ nach $\alpha$
.
Diese Abbildung beschreibt man in der Form $\beta \circ \alpha$.
erst $\beta$ dann $\alpha$
bzw. $\alpha$ nach $\beta$
.
Diese Abbildung beschreibt man in der Form $\alpha \circ \beta$.
Zielsetzung
In den folgenden Abschnitten geht es darum, die Verkettung geometrischer Abbildungen systematischer zu untersuchen. Wir betrachten die Verkettung beliebiger linearer Anbbildungen sowie die Verkettung beliebiger affiner Abbildungen.
