Überprüfung - Verkettung von Abbildungen
Aufgabe 1
Betrachte die beiden Abbildung $\alpha$ und $\beta$ in der Übersicht. Den (blau dargestellten) Punkt $X$ kann man hin und her bewegen.
| Abbildung |
Beschreibung mit einer Vektorgleichung |
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Spiegelung an der $x$-Achse:
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
$
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Spiegelung an der $y$-Achse:
$\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
$
|
(a)
Was soll man sich unter der Verkettung $\beta \circ \alpha$ und der Verkettung $\alpha \circ \beta$ der beiden Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ vorstellen?
Beschreibe allgemein und verdeutliche anhand von Beispielzuordnungen.
Zur Kontrolle
$\beta \circ \alpha$ bedeutet, dass die beiden Abbildung $\beta$ und $\alpha$ nacheinander ausgeführt werden;
$\beta$ nach $\alpha$ bzw. zuerst $\alpha$, dann $\beta$.
Beispiel:
$\beta \circ \alpha:
\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}
\stackrel{\beta}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$
$\alpha \circ \beta$ bedeutet, dass die beiden Abbildung $\alpha$ und $\beta$ nacheinander ausgeführt werden;
$\alpha$ nach $\beta$ bzw. zuerst $\beta$, dann $\alpha$.
Beispiel:
$\alpha \circ \beta:
\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
\stackrel{\beta}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}
\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$
(b)
Wie bestimmt man aus den algebraische Beschreibungen zu den beiden Abbildungen $\alpha$ und $\beta$
algebraische Beschreibungen zu den Verkettungen $\beta \circ \alpha$ und $\alpha \circ \beta$?
Beschreibe und erläutere das Verfahren.
Zur Kontrolle
Betrachte $\beta \circ \alpha$:
$
\beta \circ \alpha: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\stackrel{\beta}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right]
$
Es gilt:
$
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right]
=
\left[\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
$
Also:
$
\beta \circ \alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
$
Betrachte $\alpha \circ \beta$:
$
\alpha \circ \beta: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\stackrel{\beta}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right]
$
Es gilt:
$
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right]
=
\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
$
Also:
$
\alpha \circ \beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
$
