Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es darum, die geometrische Deutung von Vektoren zu präzisieren.
Verschiebungen mit Vektoren darstellen
Das Dreieck im Applet kann man verschieben. Probiere es selbst aus.
Zum Herunterladen: vektoren_verschiebung_v2.ggb
Aufgabe 1
(a) Verschiebe das Ausgangsdreieck im Applet so, dass im oberen Fenster $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ angezeigt wird. Welche Verschiebung hast du hierzu ausgeführt? Beschreibe sie in Worten.
(b) Deute $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ als Verschiebung und führe sie im Applet aus.
(c) Erläute anhand des Applets:
Geometrische Deutung von Vektoren
Jeder (2-dimensionale) Vektor kann als Verschiebung (in der Ebene) gedeutet werden. Die Verschiebung kann man mit unendlich vielen Pfeilen geometrisch verdeutlichen, die alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind.Punkte mit Vektoren darstellen
Aus der Sekundarstufe kennst du die Darstellung von Punkten mit Hilfe von Koordinaten in der Form $P(4|3)$. Hier werden Zahlen benutzt, um die Position eines Punktes $P$ im Koordinatensystem zu beschreiben.
Im folgenden Applet wird zusätzlich zur üblichen Punktschreibweise eine vektorielle Darstellung von Punkten benutzt.
Zum Herunterladen: ortsvektor.ggb
Aufgabe 2
(a) Den Punkt $P$ kann man im Koordinatensystem hin und her bewegen. Bringe ihn in eine Position mit $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$.
(b) Erläutere anhand des Applets:
Darstellung von Punkten von Vektoren
Man kann jeden Punkt (der 2-dimensionalen Ebene) mit einem (2-dimensionalen) Vektor beschreiben. Die Komponenten des Vektors werden als Koordinaten des Punktes gedeutet und legen so die Position des zugehörigen Punktes im Koordinatensystem fest. Man deutet den Vektor somit als Ortsvektors. Zur Veranschaulung verwendet man einen Pfeil vom Koordinatenursprung zum betrachteten Punkt.Verschiebungen rechnerisch durchführen
Im folgenden Applet wird beispielhaft eine Verschiebung angezeigt. Die Punkte Lage der Punkte $A$ und $B$ im Koordinatensystem kann man variieren.
Zum Herunterladen: vektoren_verschiebung_v3.ggb
Aufgabe 3
(a) Bestimme rechnerisch den Endpositionsvektor: $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \dots$
(a) Bestimme rechnerisch den Verschiebevektorvektor: $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
Aufgabe 4
Verallgemeinere die Berechnungen in Aufgabe 3. Ergänze hierzu den folgenden Satz.
Verschiebungen rechnerisch durchführen
(a) Endpositionsvektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und der Verschiebevektor
$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ gegeben sind, dann erhält man den
Endpositionsvektor $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ wie folgt:
$\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \dots$
(b) Verschiebevektor bestimmen:
Wenn der Ausgangspositionsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und der Endpositionsvektor
$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ gegeben sind, dann erhält man den Verschiebevektor
$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ wie folgt:
$\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \dots$
Aufgabe 5
In den Schulbüchern in Österreich findet man folgende Formeln:
$B = A + \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB} = B - A$
Kläre folgende Fragen: Was wird mit diesen Formeln beschrieben? Inwiefern unterscheiden sie sich von denen im Satz in Aufgabe 4?
