Zusammenfassung - Abbildung von Geraden
Experimente
Wenn man im Applet den Schieberegler hin und her bewegt, dann sieht man, dass die Bildpunkte zu den Punkten einer Geraden bei einer affinen Abbildung wieder alle auf einer Geraden liegen.
Zum Herunterladen: abbildunggeraden1.ggb
Ziel ist es, diesen experimentell gefundenen Zusammenhang algebraisch nachzuweisen.
Abbildung von Geraden
Wir betrachten zunächst ein typischen Beispiel und verdeutlichen an diesem Beispiel auch den allgemeinen Fall.
Beispiel 1:
Gegeben sind:
Gesucht ist eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade
Eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade
Im vorliegenden Beispiel 1 gilt:
- Alle Bildpunkte
liegen auf einer Geraden . - Umgekehrt sind auch alle Punkte der Geraden
Bildpunkte von Punkten auf der Ausgangsgeraden . - Das Bild der Geraden
bei der affinen Abbildung ist somit wieder eine Gerade.
Das folgende Beispiel verdeutlicht einen Sonderfall.
Beispiel 2:
Gegeben sind:
Gesucht ist eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade
Hier erhält man folgende vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade
Im vorliegenden Beispiel 2 werden alle Punkte
Wenn die Abbildungsmatrix es entsteht keine Bildgerade
nicht auftreten. Wenn
Wir präzisieren die in den Beispielen gewonnenen Ergebnisse im folgenden Satz.
Geradentreue bei affinen Abbildungen
Für jede affine Abbildung
Wenn man alle Punkte einer Geraden
Diesen Zusammenhang kann man übersichtlich so darstellen:
Im folgenden Applet kann man Beispiele zu diesem Satz generieren, indem man eine affine Abbildung mit passenden Eingaben einstellt und eine Gerade durch Positionieren der beiden Punkte
Zum Herunterladen: abbildunggeraden2.ggb
Geradentreue
Eine Abbildung ist geradentreu, wenn sie Geraden wieder auf Geraden abbildet.
Die Betrachtungen oben zeigen, dass affine Abbildungen im Regelfall geradentreu sind. Ein Sonderfall tritt ein, wenn die Abbildung des Richtungsvektors den Nullvektor ergibt. In diesem Fall liefert die affine Abbildung keine Gerade als Bild der Ausgangsgeraden.
Geradentreue ist keine Selbstverständlichkeit. Betrachte hierzu die Abbildung im folgenden Applet. Bewege den Punkt
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Teilverhältnistreue
Im nächsten Applet sieht man direkt: Wenn
Zum Herunterladen: abbildunggeraden5.ggb
Wir verallgemeinern diesen Zusammenhang und betrachten hierzu folgende Situation: Der Punkt
Mit den oben beschriebenen Zusammenhängen erhält man sofort:
Es gilt demnach folgender Satz:
Teilverhältnistreue bei affinen Abbildungen
Für jede affine Abbildung