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Abbildungen algebraisch beschreiben
Eine geometrische Abbildung (in der Ebene) ordnet jedem Punkt $X$ der Ebene einen Bildpunkt $X'$ zu. Wenn man die Punkte $X$ und $X'$ vektoriell beschreibt, dann ordnet eine geometrische Abbildung jedem Vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ einen Bildvektor $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ zu. Die Abbildung beschreibt man z.B. mit Hilfe von Gleichungen.
Beispiel: Spiegelung an der $x$-Achse
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}\quad$ mit $\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & x_1 \\ x_2' & = & -x_2 \end{array}$
Algebraische Beschreibungen analysieren
| Abbildung | Beschreibung mit Gleichungen | Beschreibung mit einer Matrix |
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Spiegelung an der $x$-Achse: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & x_1 \\ x_2' & = & & -x_2 \end{array}$ |
Spiegelung an der $x$-Achse: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
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Spiegelung an der $y$-Achse: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & -x_1 \\ x_2' & = & & x_2 \end{array}$ |
Spiegelung an der $y$-Achse: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
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Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & & x_2 \\ x_2' & = & x_1 & \end{array}$ |
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
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Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & & -x_2 \\ x_2' & = & -x_1 & \end{array}$ |
Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
| Abbildung | Beschreibung mit Gleichungen | Beschreibung mit einer Matrix |
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Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ um den Drehwinkel $\alpha$: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & cos(\alpha) \cdot x_1 & - sin(\alpha) \cdot x_2 \\ x_2' & = & sin(\alpha) \cdot x_1 & + cos(\alpha) \cdot x_2 \end{array}$ |
Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ um den Drehwinkel $\alpha$: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
Aufgabe 1 (★)
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