Überprüfung - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen
Aufgabe 1
Das Applet zeigt, wie man eine Punktspiegelung geometrisch durchführt. Den Punkt $X$ kann man im Applet hin und her bewegen. Der Punkt $X'$ ergibt sich durch eine Spiegelung von $X$ am Spiegelzentrum $Z$.
Zum Herunterladen: punktspiegelung1.ggb
Wenn man das (passend gewählte) Koordinatensystem einblendet, dann kann man $\vec{x}'$ bzw. $X'$ ganz einfach aus $\vec{x}$ bzw. $X$ berechnen. Ergänze hierzu die algebraischen Beschreibungen.
Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Koordinatengleichungen
$x_1' = \dots$
$x_2' = \dots$
Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
Punktspiegelung am Koordinatenursprung – Vektorgleichung mit Abbildungsmatrix
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Aufgabe 2
Im folgenden Applet wird ebenfalls eine Punktspiegelung geometrisch durchgeführt. Das Spiegelzentrum $Z$ befindet sich aber nicht mehr im Koordinatenursprung.
Zum Herunterladen: punktspiegelung2.ggb
Diese Punktspiegelung lässt sich z.B. mit folgender Vektorgleichung algebraisch beschreiben:
Punktspiegelung am Spiegelzentrum $Z(1|1)$ – Vektorgleichung
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_1 + 2 \\ -x_2 + 2\end{pmatrix}$
Bestimme die Bildpunkte bei dieser Punktspiegelung zu folgenden Ausgangspunkten:
- $A(3|4) \rightarrow \dots$
- $B(-2|0) \rightarrow \dots$
- $C(0|0) \rightarrow \dots$
- $D(1|1) \rightarrow \dots$
Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.
