Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es jetzt darum, einige der im letzten Abschnitt wiederholten geometrischen Abbildungen rechnerisch durchzuführen. Hierzu muss du passende algegraische Beschreibungen für die Abbildungen mit Hilfe von Matrizen und Vektoren entwickeln. Da etliche Abbildungen zu bearbeiten sind, kann ein arbeitsteiliges Vorgehen hier sinnvoll sein.
Punkte algebraisch beschreiben
Mit geometrischen Abbildungen werden Punkte (der Ebene) auf Punkte (der Ebene) abgebildet. Wenn man das rechnerisch durchführen will, muss man zunächst Punkte mit Zahlen repräsentieren. Für diesen Zweck führt man ein Koordinatensystem ein. Die Position eines Punkte kann man dann mit Hilfe von Koordinaten beschreiben. Wir verwenden diese Koordinaten, um Punkte als Vektoren (d.h. als n-Tupel) darzustellen. Im folgenden Applet wird diese vektorielle Darstellung von Punkten verdeutlicht.
Zum Herunterladen: darstellung_punkte.ggb
Der Punkt $A(2|3)$ wird mit dem Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ dargestellt. Mit beiden Schreibweisen wird demnach derselbe Punkt beschrieben.
Verschiebungen algebraisch beschreiben
Aufgabe 1 (★)
Aktiviere im Applet die Schaltfläche [Verschieben]. Stelle mit den Schiebereglern im oberen Fenster eine Verschiebung um $5$ Einheiten in $x$-Richtung und $3$ Einheiten in $y$-Richtung ein. Im unteren Fenster sind die Ausgangsfigur (blau dargestellt) und die verschobene Figur (rot dargestell) zu sehen. Zusätzlich ist eine violett dargestellte Figur zu sehen, die ebenfalls verschoben werden soll – aber mit algebraischen Mitteln.
(a) Schaue dir zunächst die vektorielle Darstellung der Ausgangspunkte und der zugehörigen Bildpunkte an. Beschreibe, wie man aus den Ausgangspunkten $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ und $\vec{d}$ die zugehörigen Bildpunkte $\vec{a}'$, $\vec{b}'$, $\vec{c}'$ und $\vec{d}'$ erhält.
(b) Im violetten Kasten soll allgemein beschrieben werden, wie man aus einem Ausgangspunkt $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ den zugehörigen Bildpunkt $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ erhält. Trage hierzu in den Eingabefeldern die passenden Zahlen ein.
Zur Kontrolle: Aktiviere die Kontrollfigur. Bei korrekter Eingabe deckt sich die Kontrollfigur mit der verschobenen Figur.
(c) Stelle die Ausgangsposition der Figur wieder ein. Gehe analog mit weiteren selbst gewählten Verschiebungen vor.
(d) Dokumentiere deine Ergebnisse.
Verschiebung um ...
$x_1' = \dots$
$x_2' = \dots$
Streckungen algebraisch beschreiben
Aufgabe 2 (★★)
Aktiviere im Applet die Schaltfläche [Strecken]. Stelle mit dem Schieberegler im oberen Fenster eine Streckung mit dem Streckfaktor $2$ ein. Das Streckzentrum ist der koordinatenursprung. Im unteren Fenster sind die Ausgangsfigur (blau dargestellt) und die gestreckte Figur (rot dargestellt) zu sehen. Zusätzlich ist eine violett dargestellte Figur zu sehen, die ebenfalls gestreckt werden soll – aber mit algebraischen Mitteln.
(a) Schaue dir zunächst die vektorielle Darstellung der Ausgangspunkte und der zugehörigen Bildpunkte an. Beschreibe, wie man aus den Ausgangspunkten $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ und $\vec{d}$ die zugehörigen Bildpunkte $\vec{a}'$, $\vec{b}'$, $\vec{c}'$ und $\vec{d}'$ erhält.
(b) Im violetten Kasten soll allgemein beschrieben werden, wie man aus einem Ausgangspunkt $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ den zugehörigen Bildpunkt $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ erhält. Trage hierzu in den Eingabefeldern die passenden Zahlen ein.
Zur Kontrolle: Aktiviere die Kontrollfigur. Bei korrekter Eingabe deckt sich die Kontrollfigur mit der verschobenen Figur.
(c) Stelle die Ausgangsposition der Figur wieder ein. Gehe analog mit weiteren selbst gewählten Streckungen vor.
(d) Dokumentiere deine Ergebnisse.
Streckung um $Z(0|0)$ mit dem Streckfaktor ...
$x_1' = \dots$
$x_2' = \dots$
Spiegelungen algebraisch beschreiben
Aufgabe 3 (★★)
Aktiviere im Applet die Schaltfläche [Spiegeln]. Im oberen Fenster werden jetzt verschiedene Spiegelachsen angezeigt. Wähle zunächst die $x$-Achse aus. Im unteren Fenster sind die Ausgangsfigur (blau dargestellt) und die gespiegelte Figur (rot dargestellt) zu sehen. Zusätzlich ist eine violett dargestellte Figur zu sehen, die ebenfalls gespiegelt werden soll – aber mit algebraischen Mitteln.
(a) Schaue dir zunächst die vektorielle Darstellung der Ausgangspunkte und der zugehörigen Bildpunkte an. Beschreibe, wie man aus den Ausgangspunkten $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ und $\vec{d}$ die zugehörigen Bildpunkte $\vec{a}'$, $\vec{b}'$, $\vec{c}'$ und $\vec{d}'$ erhält.
(b) Im violetten Kasten soll allgemein beschrieben werden, wie man aus einem Ausgangspunkt $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ den zugehörigen Bildpunkt $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ erhält. Trage hierzu in den Eingabefeldern die passenden Zahlen ein.
Zur Kontrolle: Aktiviere die Kontrollfigur. Bei korrekter Eingabe deckt sich die Kontrollfigur mit der verschobenen Figur.
(c) Stelle die Ausgangsposition der Figur wieder ein. Gehe analog bei den weiteren Spigelachsen vor.
(d) Dokumentiere deine Ergebnisse.
Spiegelung an der ...
$x_1' = \dots$
$x_2' = \dots$
Drehungen algebraisch beschreiben
Aufgabe 4 (★★)
Aktiviere im Applet die Schaltfläche [Drehen]. Im oberen Fenster kannst du jetzt verschiedene Drehwinkel einstellen. Das Drehzentrum ist der Koordinatenursprung. Stelle zunächst den Drehwinkel $\alpha = 90°$ ein. Im unteren Fenster sind die Ausgangsfigur (blau dargestellt) und die gedrehte Figur (rot dargestellt) zu sehen. Zusätzlich ist eine violett dargestellte Figur zu sehen, die ebenfalls gedreht werden soll – aber mit algebraischen Mitteln.
(a) Schaue dir zunächst die vektorielle Darstellung der Ausgangspunkte und der zugehörigen Bildpunkte an. Beschreibe, wie man aus den Ausgangspunkten $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ und $\vec{d}$ die zugehörigen Bildpunkte $\vec{a}'$, $\vec{b}'$, $\vec{c}'$ und $\vec{d}'$ erhält.
(b) Im violetten Kasten soll allgemein beschrieben werden, wie man aus einem Ausgangspunkt $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ den zugehörigen Bildpunkt $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ erhält. Trage hierzu in den Eingabefeldern die passenden Zahlen ein.
Zur Kontrolle: Aktiviere die Kontrollfigur. Bei korrekter Eingabe deckt sich die Kontrollfigur mit der verschobenen Figur.
(c) Stelle die Ausgangsposition der Figur wieder ein. Gehe analog bei den weiteren Drehwinkeln vor.
(d) Dokumentiere deine Ergebnisse.
Drehung um $Z(0|0)$ um ...°
$x_1' = \dots$
$x_2' = \dots$
