Überprüfung - Umkehrung von Abbildungen
Aufgabe 1
In der folgenden Übersicht wird die Abbildung
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
und die zugehörige Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ exemplarisch verdeutlicht.
| Abbildung (blau -> rot) |
Umkehrabbildung (blau -> rot) |
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Aufgabe 1
Was bedeutet die Aussage: $\alpha^{-1}$ ist die Umkehrabbildung zur Abbildung $\alpha$
?
Erkläre das mit Hilfe von Zuordnungen.
Zur Kontrolle
$\alpha^{-1}$ kehrt die Zuordnungen der Abbildung $\alpha$ alle um.
Beispiel:
$\alpha: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 16 \end{pmatrix}$
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 0 \\ 16 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$
Aufgabe 2
Wie kann man man $\alpha^{-1}$ mit Hilfe von Zuordnungen bestimmen? Führe das Verfahren selbst durch.
Zur Kontrolle
Ansatz: $\alpha^{-1}$ ist ebenfalls eine lineare Abbildung:
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
| Bedingungen |
Vektorgleichungen |
Koordinatengleichungen |
Lösungen |
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$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 0 \\ 16 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$
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$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$
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$\begin{array}{lrcrcrcr}
[1] &\quad 16b & = & 8 \\
[2] &\quad 16d & = & 0
\end{array}$
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$\begin{array}{lcl}
b & = & 0.5 \\
d & = & 0
\end{array}$
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$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} -16 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$
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$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -16 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$
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$\begin{array}{lrcrcrcr}
[3] &\quad -16a & = & 0 \\
[4] &\quad -16c & = & 8
\end{array}$
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$\begin{array}{lcl}
a & = & 0 \\
c & = & -0.5
\end{array}$
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Erbebnis:
$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Aufgabe 3
Wie kann man man $\alpha^{-1}$ mit Hilfe einer inversen Matrix bestimmen? Erläutere das Verfahren.
Zur Kontrolle
Betrachte die Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ der Abbildung $\alpha$.
Für die inverse Matrix $A^{-1}$ gilt: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0 \end{pmatrix}$.
Diese inverse Matrix kann man im vorliegenden Beispiel leicht erschließen.
In schwierigeren Fällen kann man die inverse Matrix mit einer Formel oder mit einem Computeralgebrasystem bestimmen.
Also: $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Aufgabe 4
Betrachte die Abbildung $\beta$, die $\alpha$ mit einer Verschiebung kombiniert.
$\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Wie kann man man $\beta^{-1}$ mit Hilfe von $\alpha^{-1}$ bestimmen? Erläutere das Verfahren.
Zur Kontrolle
Mit der Verschiebung
$\gamma: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
kann man $\beta$ auch so darstellen:
$\beta: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\stackrel{\gamma}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Die Umkehrabbildung erhält man dann so:
$\beta^{-1}: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\stackrel{\gamma^{-1}}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}
\stackrel{\alpha^{-1}}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}\right]
= \begin{pmatrix} 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Also: $\beta^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
