Erarbeitung
Zur Orientierung
Wenn man im Applet den Schieberegler hin und her bewegt, dann sieht man, dass die Bildpunkte zu den Punkten einer Geraden bei einer affinen Abbildung wieder alle auf einer Geraden liegen. Ziel ist es hier, diesen experimentell gefundenen Zusammenhang algebraisch nachzuweisen.
Zum Herunterladen: abbildunggeraden1.ggb
Ein typisches Beispiel betrachten
Betrachte die im Applet vorgegebene lineare Abbildung $\alpha$ und Gerade $g$.
Beispiel:
Gegeben sind:
$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
$g: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}$
Gesucht ist eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$.
Aufgabe 1
Eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$ erhält man, indem man die Vektoren zu den Punkten der Gerade $g$ in die Abbildungsgleichung $\alpha$ einsetzt:
$\alpha(g): \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \left[\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}\right] + \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \dots$
(a) Zeige durch Umformen, dass man folgende Vektorgleichung erhält:
$\alpha(g): \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0.5 \\ 2.5 \end{pmatrix}}_{\vec{p}'} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{u}'}$
(b) Erläutere, warum die Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$ eine Gerade $g'$ bildet. Du kannst hierzu auch das folgende Applet verwenden.
Einen Sonderfall betrachten
Betrachte auch das folgende Beispiel.
Beispiel:
Gegeben sind:
$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
$g: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}$
Gesucht ist eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$.
Aufgabe 2
(a) Bestimme auch hier $\alpha(g)$. Was fällt auf? Deute das Ergebnis. Überprüfe deine Ergebnisse im folgenden Applet.
$\alpha(g): \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \left[\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}\right] + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \dots$
(b) Warum erhält man im vorliegenden Beispiel keine Bildgerade?
Die Betrachtungen verallgemeinern
Betrachte jetzt eine beliebige lineare Abbildung $\alpha$ und eine beliebige Gerade $g$.
Problem:
Gegeben sind:
$\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$
$g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$
Gesucht ist eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$.
Aufgabe 3
(a) Gehe analog zum Beispiel oben vor. Zeige, dass man folgende vektorielle Darstellung erhält:
$\alpha(g): \left[ A \cdot \vec{p} + \vec{v} \right] + t \cdot \left[ A \cdot \vec{u} \right]$
(b) Begründe: Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist $A \cdot \vec{u}$ nicht der Nullvektor. $\alpha(g)$ ist dann die Vektorgleichung einer Geraden $g'$. Beschreibe dabei auch, wie man den Stützvektor $\vec{p}'$ und den Richtungsvektor $\vec{u}'$ von $g'$ aus den entsprechenden Vektoren zur Geraden $g$ erhält.
(c) Ergänze den folgenden Satz zur präzisen Beschreibung des gefundenen Ergebnisses.
Geradentreue bei affinen Abbildungen
Für jede affine Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ mit einer invertierbaren Abbildungsmatrix $A$ gilt: Wenn man alle Punkte einer Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ mit $\alpha$ abbildet, dann bildet die Gesamtheit der Bildpunkte eine Gerade $g': \vec{x}' = \vec{p}' + t \cdot \vec{u}'$ mit $\vec{p}' = \dots$ und $\vec{u}' = \dots$.
Geradentreue als Eigenschaft von Abbildungen deuten
Eine Abbildung ist geradentreu, wenn sie Geraden wieder auf Geraden abbildet.
Die Betrachtungen oben zeigen, dass affine Abbildungen im Regelfall geradentreu sind. Ein Sonderfall tritt ein, wenn die Abbildung des Richtungsvektors den Nullvektor ergibt. In diesem Fall liefert die affine Abbildung keine Gerade als Bild der Ausgangsgeraden.
Geradentreue ist keine Selbstverständlichkeit. Betrachte hierzu die Abbildung im folgenden Applet. Bewege den Punkt $X$ auf der Geraden $g$ und beobachte, welches Bild die vorgegebene Abbildung erzeugt.
Zum Herunterladen: kreisspiegelung.ggb
