Vertiefung

Eine Abbildung umkehren

Im letzten Abschnitt hast du die Umkehrabbildung zu der folgenden linearen Abbildung bestimmt:

$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

Die Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ ist wieder eine lineare Abbildung mit folgender Vektorgleichung:

$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

Wir variieren die bisher betrachtete lineare Abbildung und fügen einen Verschiebevektor hinzu:

$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$

Ziel ist es, auch für diese Abbildung die Umkehrabbildung zu ermitteln.

Mache dich zunächst mit der neuen Abbildung vertraut. Stelle mit den Schiebereglern die Abbildungsmatrix passend zur Abbildung ein. Drücke dann die Schaltfläche [Abbilden]. Die eingestellte Abbildung wird dann dynamisch durchgeführt.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_dynamisch_2.ggb

Die Abbildung soll jetzt wieder rückgängig gemacht werden. Hierzu musst du die passenden Einstellungen für die Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ finden. Probieren hilft in der Regel nicht weiter.

Im vorliegenden Fall ist es günstig, die Abbildung $\alpha$ in zwei Teilabbildungen $\alpha_1$ und $\alpha_2$ aufzuteilen:

$\alpha_1: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$\alpha_2: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$

Diese Aufteilung ist günstig, weil man die Umkehrabbildung $\alpha_1^{-1}$ bereits kennt und die Umkehrabbildung $\alpha_2^{-1}$ direkt angeben kann:

$\alpha_1^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$\alpha_2^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$

Dieses Wissen wird in den folgenden Aufgaben verwendet.

Aufgabe 1

(a) Was leisten die Teilabbildungen $\alpha_1$ und $\alpha_2$? Verdeutliche das anhand eines Zuordnungsbeispiels. Du kannst das Zusammenspiel der beiden Teilabbildungen auch im Applet testen. Führe hierzu zunächst $\alpha_1$ und dann $\alpha_2$ aus.

$\alpha: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_2}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(b) Warum gilt $\alpha = \alpha_2 \circ \alpha_1$? Begründe kurz.

Aufgabe 2

(a) Die Abbildung $\alpha$ soll umgekehrt werden. Ergänze die Vektoren im Zuordnungsbeispiel.

$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_2^{-1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_1^{-1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(b) Verallgemeinere das Zuordnungsbeispiel. Verwende die Vektorgleichungen der beiden Teilabbildungen.

$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_2^{-1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_1^{-1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(c) Zeige mit einer Umformung, dass man $\alpha^{-1}$ algebraisch so beschreiben kann:

$\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.2 \\ -2.4 \end{pmatrix}$

(d) Überprüfe das Ergebnis im Applet oben. Führe hierzu die beiden Abbildungen $\alpha$ und $\alpha^{-1}$ nacheinander durch.