Erarbeitung

Einen Fixpunkt rechnerisch bestimmen

Das Applet kannst du zur Kontrolle verwenden.

Zum Herunterladen: fixpunkte3.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet voreingestellte affine Abbildung.

(a) Begründe: Ein Punkt $X$ ist Fixpunkt der affinen Abbildung $\alpha$ genau dann, wenn (die Vektordarstellung von) $X$ die folgende Fixpunktgleichung erfüllt:

$\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

(b) Erläutere und ergänze die Einträge in der folgenden Übersicht zur Bestimmung der Fixpunkte von $\alpha$.

Fixpunktgleichung	$\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & - & x_2 & + & 2 & = & x_1 \\ [2] &\quad \dots \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & = & -2 \\ [2] &\quad \dots \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \end{array}$
Lösungen des LGS	$\begin{array}{lrrrcrcr} x_2 & = & \dots \\ x_1 & = & \dots \end{array}$
Fixpunkte	Es gibt genau einen Fixpunkt: $(-2|0)$

(c) Vergleiche das rechnerisch ermittelte Ergebnis mit dem experimentell bestimmten im Applet.

Aufgabe 2

Gehe in den folgenden Beispielen so vor: Bestimme die Fixpunkte zunächst experimentell. Gib hierzu jeweils die Abbildung passend im Applet oben ein. Bestimme anschließend die Fixpunkte rechnerisch. Gehe dabei analog zum Beispiel in Aufgabe 1 vor. Achtung: Im Beispiel in Aufgabe 1 gab es genau einen Fixpunkt. In den folgenden Beispielen ist das anders. Das wirst du bereits beim Experimentieren feststellen.

(a)

$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Fixpunktgleichung	$\underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
Lösungen des LGS	...
Fixpunkte	...

(b)

$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Fixpunktgleichung	$\underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
Lösungen des LGS	...
Fixpunkte	...

(c)

$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

Fixpunktgleichung	$\underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$
Lösungen des LGS	...
Fixpunkte	...

Aufgabe 3

Begründe ausgehend von den Beispielen oben den folgenden Satz: