Erarbeitung

Ein Beispiel betrachten

Aufgabe 1

Führe die Verkettungen selbst durch (per Hand mit einer selbst gewählten Figur oder mit Hilfe des Applets). Stelle Vermutungen darüber auf, was die Abbildungen $\beta \circ \alpha$ und die $\alpha \circ \beta$ leisten.

Applet einblenden

Zum Herunterladen: verkettung_abbildungen.ggb

Aufgabe 2

In der folgenden Übersicht wird die Abbildung $\beta \circ \alpha$: Drehung um $90°$ um den Ursprung nach Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden verdeutlicht.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden	Drehung um $90°$ um den Ursprung
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$	$\beta: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

(a) Zeige, dass die Abbildung $\beta \circ \alpha$ so beschrieben werden kann:

$\beta \circ \alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

Hilfe

Es gilt:

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right]$

Hilfe

Durch Umformen erhält man:

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right] = \dots $

(b) Begründe: Die Abbildung $\beta \circ \alpha$ entspricht einer Spiegelung an der $y$-Achse.

Aufgabe 3

Betrachte die Verkettung $\alpha \circ \beta$: Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden nach Drehung um $90°$ um den Ursprung. Zeige analog, dass diese Abbildung einer Spiegelung an der $x$-Achse entspricht.

Ergebnisse verallgemeinern

Aufgabe 4

Betrachte die Verkettung $\beta \circ \alpha$ von zwei linearen Abbildungen $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$ und $\beta: \vec{x}' = B \cdot \vec{x}$.

(a) Ergänze die algebraische Beschreibung von $\beta \circ \alpha$:

$\beta \circ \alpha: \vec{x}' = \dots$

(b) Ist die Verkettung $\beta \circ \alpha$ ebenfalls eine lineare Abbildung? Begründe.

Aufgabe 5

Schaue dir nochmal das Beispiel oben an. Darf man die Reihenfolge bei der Verkettung von linearen Abbildungen vertauschen bzw. gilt $\beta \circ \alpha = \alpha \circ \beta$ bei beliebigen linearen Abbildungen?

Aufgabe 6

Sichere deine Ergebnisse.

Beachte: Die Verkettung von (linearen) Abbildungen ist nicht kommutativ.