Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es um die Frage, wie man beliebige Geraden mit Hilfe Vektorgleichungen beschreiben kann.
Die Grundidee beschreiben
Eine Gerade (in der 2D-Ebene bzw. im 3D-Raum) ist eine Menge von Punkten, die in einer ganz bestimmten Weise angeordnet sind. Die Gesamtheit dieser Punkte kann man mit Hilfe von zwei Vektoren beschreiben:
- einem Stützvektor, der vom Koordinatenursprung zu einem Punkt der Geraden führt und
- einem Richtungsvektor, der die Richtung der Geraden festlegt.
Zum Herunterladen: geradengleichung1.ggb
Aufgabe 1
(a) Erläutere anhand des Applets:
Wenn der Parameter $t$ die reellen Zahlen durchläuft, dann erhält man sämtliche Punkte $X$ der Geraden $g$. Der Punkt $X$ zum Parameter $t$ ist der Punkt zum Ortsvektor $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$. Man bewegt sich also vom Koordinatenursprung $O$ mit $\vec{p}$ erst zum Stützpunkt $P$ der Geraden und anschließend ein Vielfaches des Richtungsvektors $t \cdot \vec{u}$ zum Punkt $X$ der Geraden.
(b) Im Applet ist mit dem Schieberegler nur ein eingegrenzter Bereich der reellen Zahlen einstellbar. Welchen Bereich muss man für den Parameter $t$ vorsehen, um alle Punkte der Geraden zu erfassen?
(c) Warum ist der Nullvektor nicht als Richtungsvektor zugelassen? Begründe kurz.
Eine Gerade vektoriell beschreiben
Die Gerade im Applet soll jetzt vektoriell beschrieben werden.
Zum Herunterladen: geradengleichung1.ggb
Aufgabe 2
(a) Ergänze die Komponenten des verwendeten Stützvektors $\vec{p}$ und des verwendeten Richtungsvektors $\vec{u}$ in der folgenden vektoriellen Geradengleichung.
$g: \vec{x} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\text{Stützvektor } \vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\text{Richtungsvektor } \vec{u}}$ mit $t \in \mathbb{R}$
(b) Bestimme für einige Werte des Parameters $t$ die zugehörigen Punkte der Geraden.
$\begin{array}{lll} t = 2 &:& \vec{x} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ t = 2 &: & \vec{x} = \dots \\ t = 0 &: & \vec{x} = \dots \\ t = -3 &: & \vec{x} = \dots \\ t = ? &: & \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{array}$
(c) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.
Zusammenhänge präzisieren
Aufgabe 3
Erläutere die folgenden Sätze zur Präzisierung der Zusammenhänge.
Vektorielle Geradengleichung
Gegeben sind ein Stützvektor $\vec{p} = \overrightarrow{OP}$, der zu einem Punkt $P$ einer Geraden $g$ führt, und ein Richtungsvektor $\vec{u}$ zur Geraden $g$ (der durch zwei unterschiedliche Punkte der Geraden festgelegt wird). Dann gilt:
(1) Für jede reelle Zahl $t$ liegt der Punkt $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ auf der Geraden $g$. $\vec{x}$ ist hierbei der Ortsvektor $\overrightarrow{ OX }$.
(2) Ist $X$ ein Punkt der Geraden $g$, so gibt es eine reelle Zahl $t$, so dass für $\vec{x} = \overrightarrow{ OX }$ gilt: $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$.
Wir benutzen die folgende Kurzschreibweise und nennen eine solche Darstellung Geradengleichung in Parameterform:
Eine Gerade wird beschrieben durch die Gleichung:
$g$: $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Eine vektorielle Beschreibung von Geraden kann man auch so formulieren:
Vektorielle Geradengleichung
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt auf der Geraden $g$ mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$
genau dann, wenn
es eine reelle Zahlen $t$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ gilt.
