Überprüfung - Abbildung von Geraden
Aufgabe 1
Wie beschreibt man eine Gerade mit einer vektoriellen Geradengleichung? Verdeutliche das Vorgehen anhand der Geraden $g$ im Applet.
Gegeben sind die beiden Punkte $P(-3|0.5)$ und $Q(-1|1.5)$ der Geraden $g$.
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Zur Kontrolle
Man verwendet einen Stützvektor (im Applet: $\vec{p}$), der zu einem Punkt der Geraden führt, und einen Richtungsvektor (im Applet: $\vec{u}$),
der die Richtung der Geraden beschreibt.
Es gilt dann: Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt auf der Geraden $g$ mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$
genau dann, wenn es eine reelle Zahlen $t$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ gilt.
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Aufgabe 2
Jeder Punkt der Geraden $g$ (aus Aufgabe 1) soll mit der affinen Abbildung $\alpha$ abgebildet werden.
Wie geht man dabei vor?
Verdeutliche das Vorgehen mit Hilfe der Daten im Applet.
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Zur Kontrolle
Man wendet die affine Abbildung $\alpha$ auf jeden Punkt $X$ der Geraden $g$ an.
$\begin{array}{lllll}
\alpha(g): & \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} & = &
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot
\left[\underbrace{\begin{pmatrix} -3 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}\right]
+ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} \\
& & = & \dots \\
& & = & \underbrace{\begin{pmatrix} -2.5 \\ 2.5 \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{p} + \cdot \vec{v}} +
t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{u}}
\end{array}$
Im vorliegenden Beispiel erhält man eine Gerade $g'$.
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