Vertiefung - Abbildung des Einheitsquadrats
Zur Orientierung
Ziel ist es weiterhin, ein vertiefteres Verständnis über lineare und affine Abbildungen zu entwickeln. Hierzu untersuchen wir eine geometrische Deutung der zentralen Bestandteile solcher Abbildungen.
Affine Abbildungen geometrisch deuten
Für die weiteren Untersuchungen ist folgender Zusammenhang wichtig.
Wiederholung
Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ entsprechen den Bildern der Einheitsvektoren.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsquadrat.ggb
Aufgabe 1
Umtersuche mit Hilfe des Applets, wie das aus den Einheitsvektoren aufgespannte Einheitsquadrat bei einer linearen bzw. affinen Abbildungen abgebildet wird. Beachte, dass man den Verschiebevektor in den folgenden Beispielen frei wählen kann.
| Abbildungsmatrix $A$ | Bild des Einheitsquadrats | Bild der Koordinatenebene |
|---|---|---|
| $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix}$ | Parallelogramm | gesamte Koordinatenebene |
| $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ | ||
| ... weitere selbst gewählte Matrizen ... |
Aufgabe 2
Kläre mit den Ergebnissen in der Tabelle folgende Frage: In welchen Fällen erzeugt die lineare / affine Abbildung aus dem Einheitsquadrat ein Prarallelogramm / eine Strecke / einen Punkt? Formuliere deine Erkenntnisse, z.B. so:
Wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix
...
