Exkurs - Bestimmung von Abbildungen
Zur Orientierung
Hier untersuchen wir, wie man die Abbildungsmatrix einer linearen (bzw. affinen) Abbildungen bestimmt, wenn Punkt-Bildpunkt-Paare vorgegeben sind.
Eine lineare Abbildung bestimmen
Wir bearbeiten hier Probleme mit folgender Struktur: Gegeben sind gewünschte Zuordnungen. Gesucht ist eine lineare Abbildung, die diese Zuordnungen erzeugt.
Problem:
Geg.: gewünschte Zuordnungen
$\begin{array}{lcl} (-8|-8) & \rightarrow & (-20|-4) \\ (8|-8) & \rightarrow & (-12|-20) \end{array}$
Ges.: lineare Abbildung, die diese Zuordnungen erzeugt; Gesucht ist also eine Abbildungsmatrix $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ mit:
$\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ -4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -20 \end{pmatrix} \end{array}$
Mit Probieren kommt man hier nur schwer zum Ziel. Du kannst es gerne versuchen.
Zum Herunterladen: lineareabbildungen_mit_koordinaten.ggb
Besser ist es, beim Problemlösen systematisch vorzugehen.
Aufgabe 1
Löse das oben beschriebene Problem. Wandle zunächst die Vektorgleichungen in Koordinatengleichungen um. Löse anschließend das entstehende lineare Gleichungssystem. Kontrolliere deine Lösung mit dem Applet.
Eine affine Abbildung bestimmen
Wir bearbeiten hier Probleme mit folgender Struktur: Gegeben sind gewünschte Zuordnungen. Gesucht ist eine affine Abbildung, die diese Zuordnungen erzeugt. Wir betrachten hier nur einen einfachen Fall.
Problem:
Geg.: gewünschte Zuordnungen
$\begin{array}{lcl} (0|0) & \rightarrow & (-3|2) \\ (1|0) & \rightarrow & (-5|1) \\ (0|1) & \rightarrow & (-2.5|3) \\ \end{array}$
Ges.: affine Abbildung, die diese Zuordnungen erzeugt;
Aufgabe 2
Löse das Problem mit den Erkenntnissen aus dem vorangehenden Abschnitt. Kontrolliere im Applet.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsquadrat.ggb
