Vertiefung - Lineare (Un-) Abhängigkeit
Zur Orientierung
Zur Beschreibung der Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt verwenden wir das in der Linearen Algebra fundamentale Konzept der linearen (Un-) Abhängigkeit.
Zusammenhänge mit einen neuen Fachkonzept beschreiben
Mit Hilfe des Applets hast du vermutlich Folgendes festgestellt:
Eine lineare / affine Abbildung erzeugt aus dem Einheitsquadrat ein Parallelogramm genau dann,
wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatix bzw.
die Bilder der Einheitsvektoren $\overrightarrow{ O'E_1' }$ und $\overrightarrow{ O'E_2' }$ nicht parallel
sind.
Das ist dann der Fall, wenn diese Vektoren keine Vielfache voneinander sind.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsquadrat.ggb
Wir verwenden das (bereits im Kapitel Inverse Matrix eingeführte) Konzept der linearen Unabhängigkeit, um diesen Sachverhalt zu beschreiben.
Lineare (Un-) Abhängigkeit
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist bzw. wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k\cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k\cdot \vec{u}$ gilt.
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Beispiele
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da $\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$ (bzw. $\vec{u} = \frac{1}{2} \cdot \vec{u}$).
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ sind linear unabhängig, da $\vec{v}$ kein Vielfaches von $\vec{u}$ sein kann und $\vec{u}$ auch kein Vielfaches von $\vec{v}$ sein kann.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u}$.
Aufgabe 1
Benutze das Fachkonzept der linearen (Un-) Abhängigkeit, um in der folgenden Übersicht die noch ausstehenden Bedingungen zu formulieren.
| Bedingung | Beispiel | Bild des Einheitsquadrats |
|---|---|---|
| Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind ... | $\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Das 2D-Einheitsquadrat wird auf ein 2D-Parallelogramm abgebildet. |
| ... | $\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Das 2D-Einheitsquadrat wird auf eine 1D-Strecke abgebildet. |
| Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind beide Nullvektoren. | $\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Das 2D-Einheitsquadrat wird auf einen 0D-Punkt abgebildet. |
